Запиши безліч які зафарбовані. сторінка. Безліч. Елементи множини

Математичним аналізом називається розділ математики, що займається дослідженням функцій на основі ідеї нескінченно малої функції.

Основними поняттями математичного аналізує величина, множина, функція, нескінченно мала функція, межа, похідна, інтеграл.

Величиноюназивається все, що може бути виміряне і виражене числом.

Безлічназивається сукупність деяких елементів, об'єднаних якоюсь загальною ознакою. Елементами множини можуть бути числа, фігури, предмети, поняття тощо.

Багато позначаються великими літерами, а елементи безліч малими літерами. Елементи множин полягають у фігурні дужки.

Якщо елемент xналежить безлічі X, то записують x∈Х (∈ - Належить).
Якщо множина А є частиною множини В, то записують А ⊂ В (⊂ - Утримується).

Безліч може бути задано одним із двох способів: перерахуванням та за допомогою визначального властивості.

Наприклад, перерахуванням задані такі множини:

А = (1,2,3,5,7) - безліч чисел
Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — безліч деяких елементів x 1 ,x 2 ,...,x n
N=(1,2,...,n) - безліч натуральних чисел
Z=(0,±1,±2,...,±n) — безліч цілих чисел

Безліч (-∞;+∞) називається числовий прямийа будь-яке число — точкою цієї прямої. Нехай a - довільна точка числової прямої і - позитивне число. Інтервал (a-δ; a+δ) називається δ-околиці точки а.

Багато Х обмежено зверху (знизу), якщо існує таке число c, що для будь-якого x ∈ X виконується нерівність x≤с (x≥c). Число з у цьому випадку називається верхньою (нижньою) граннюмножини Х. Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженим. Найменша (найбільша) із верхніх (нижніх) граней множини називається точною верхньою (нижньою) граннюцієї множини.

Основні числові множини

N	(1,2,3,...,n) Безліч всіх
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Безліч цілих чисел.Безліч цілих чисел включає безліч натуральних.
Q	Безліч раціональних чисел. Крім цілих чисел є ще й дроби. Дроб — це вираз виду, де p- ціле число, q- Натуральне. Десяткові дроби також можна записати як . Наприклад: 0,25 = 25/100 = 1/4. Цілі числа також можна записати як . Наприклад, у вигляді дробу із знаменником "один": 2 = 2/1. Таким чином, будь-яке раціональне число можна записати десятковим дробом— звичайно чи нескінченною періодичною.
R	Безліч всіх дійсних чисел. Ірраціональні числа - це нескінченні неперіодичні дроби. До них відносяться: Разом дві множини (раціональних та ірраціональних чисел) - утворюють безліч дійсних (або речових) чисел.

Якщо безліч не містить жодного елемента, воно називається порожнім безліччюта записується Ø .

Елементи логічної символіки

Запис ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

При записі математичних виразів часто використовуються квантори.

Кванторомназивається логічний символ, який характеризує такі елементи в кількісному відношенні.

∀- квантор спільностівикористовується замість слів "для всіх", "для будь-якого".
∃- квантор існуваннявикористовується замість слів "існує", "є". Використовується поєднання символів ∃!, яке читається як існує єдиний.

Операції над множинами

Два множини А і В рівні(А=В), якщо вони складаються з тих самих елементів.
Наприклад, якщо А=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), то А=В.

Об'єднанням (сумою)множин А і В називається безліч А ∪ В, елементи якого належать хоча б одному з цих множин.
Наприклад, якщо А=(1,2,4), B=(3,4,5,6), то А ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Перетином (твором)множин А і В називається безліч А ∩ В, елементи якого належать як множині А, так і множині В.
Наприклад, якщо А=(1,2,4), B=(3,4,5,2), то А ∩ В = (2,4)

Різницямножин А і В називається безліч АВ, елементи якого належать множині А, але не належать множині В.
Наприклад, якщо А = (1,2,3,4), B = (3,4,5), то АВ = (1,2)

Симетричною різницеюмножин А і В називається безліч А Δ В, що є об'єднанням різниць множин АВ і ВА, тобто А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Наприклад, якщо А=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), то А Δ В = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2,5) ,6)

Властивості операцій над множинами

Властивості перестановності

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сполучна властивість

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Рахункові та незлічені множини

Для того, щоб порівняти дві будь-які множини А і В, між їх елементами встановлюють відповідність.

Якщо ця відповідність взаємооднозначна, то множини називаються еквівалентними або рівносильними, АВ або ВА.

Приклад 1

Багато точок катета ВС і гіпотенузи АС трикутника АВС є рівносильними.

Поняття множини належить до основних понять математики. Він немає визначення. Англійський математик Бертран Рассел так описав це поняття: «Багато суть сукупність різних елементів, мислима як єдине ціле». Можна говорити про безліч граней багатокутника, безліч точок прямої, безліч натуральних чисел, безліч букв російського алфавіту і т.д.

Безліч можна задати, перерахувавши його склад через ком у фігурних дужках. Наприклад, якщо безліч складається з чисел 5, 7 та 25, то пишуть . Самі числа 5, 7, 25 називають елементами множини. Порядок, у якому перераховані у дужках елементи множини, значення не має. Безліч не може містити один і той самий елемент двічі. Той факт, що 5 є елементом безлічі , записують наступним чином: . Багато, у якому немає жодного елемента, називають порожнім і позначають .

Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів. Наприклад, якщо , то .

Якщо всі елементи множини містяться у множині , то кажуть, що множина є підмножиною множини , і пишуть . Наприклад, множина є підмножиною описаної вище множини . Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Крім того, кожна множина є підмножина самого себе: .

Над множинами можна виконувати низку операцій.

Об'єднання множин

Малюнок. Об'єднання множин
Безліч є об'єднанням множин і, якщо до нього входять всі елементи множини та всі елементи множини. Об'єднання множин записують так: . Пояснимо це, зображуючи множини і за допомогою кіл Ейлера (рис. 1). Кожна з множин і зображена за допомогою кіл. Безліч на рис. 1 показано зафарбованою фігурою. Нехай,. Тоді.

Для будь-якої множини вірне твердження

Перетин множин

Безліч є перетином множин і, якщо в нього входять тільки ті елементи, які належать і множині, і множині. Позначення перетину множин: . Для згаданих вище множин.

Малюнок. Перетин множин
Ось ще приклад. . Тут перетин множин є порожнім безліччю, т.к. загальних елементів у множин немає.

Малюнок. Різниця множин
Різниця множин

Різницею множин і називається безліч тих елементів, які не містяться в . Позначається різниця множин так:

Для вже згадуваних множин. На малюнку 3 різниця множин зафарбована.

Симетрична різниця множин

Позначається. Як показано на малюнку 4 червоним кольором,

Правильне також затвердження

Малюнок. Симетрична різниця множин

Іншими словами, симетричну різницю множин складають всі ті елементи першої множини, яких немає в другій, разом з тими елементами другої множини, яких немає в першій. Для множин з попередніх прикладів .

Безліч у Delphi та FreePascal

Визначення типів та опис змінних

FreePascal і Delphi підтримують типи даних до роботи з множинами. Формат опису множини наступний

Type имя_типа = set of базовий_тип

Безліч у Паскалі складаються з даних одного й того самого порядкового типу, званого базовим. Базовий тип може мати не більше 256 різних значень. Кількість елементів множини не може бути більшою за 255.

Приклади описів множин

Type Dgt = 0..9;

Digits = set of Dgt;

DigitChar = set of "0".. "9";

У верхньому рядку прикладу міститься визначення типу-діапазону Dgt, у другому рядку визначається тип Digits, який є безліччю елементів базового типу Dgt. Можна було обійтися без окремого оголошення типу-діапазону. Наприклад, тип DigitChar є безліч символів, кожен з яких може бути в діапазоні від "0" до "9".

Базовим типом не обов'язково має бути тип-діапазон. Нижче визначається безліч елементів типу Char. Це допустимо, оскільки тип Char містить 256 різних значень.

Type Junk = Set of Char;

Однак використання Integer як базовий тип буде помилкою, тому що кількість можливих значень цього типу більше 256:

Type Junk = Set of Integer ; //Не можна!!!

Неприпустимо використання як базового типу при описі множин і речових типів даних, наприклад real, оскільки вони є порядковими.

Після визначення типу множини можна описувати змінні цього типу. Наприклад,

Можна використовувати конструкцію set ofі при оголошенні змінних. Наприклад,

Var sc: set of 0..9;

Створення множин

Для створення множини використовують так званий конструктор множини. Він може бути записаний такими способами.

У квадратних дужках через кому перераховуються елементи множини. Вони мають бути константами, змінними чи виразами базового типу. Наприклад, sc:=, де x- змінна цілого чисельного типу.
[a..b]. У цьому випадку безліч містить усі значення базового типу, починаючи з aта закінчуючи b. При такому способі завдання множини має бути a b. Наприклад, вираз sc:= означає те саме, що й sc:=.
Комбінація способів 1 та 2. Наприклад, sc:=.
Порожня множина задається відкритою і відразу ж закритою квадратною дужкою. Наприклад, sc:=.

Операції над множинами

Оператор	Опис	приклад
+	Об'єднання множин	c:=a+b; d:=+;
*	Перетин множин	c:=*;
-	Різниця множин	c:= – ;
=	Перевірка рівності множин. Результат має тип Boolean	Program Sample1; x:==;
	Atrue, якщо є.	Program Sample2; Var a, b: set of 1..100; a:=;
in	Вираз логічного типу x in Aперевіряє, чи є xелементом множини A. Змінна (або константа) xмає бути базового для безлічі Aтипу.	x:=10 in;
>	Симетрична різниця множин. Тільки для FreePascal . У Delphi не працює. У прикладі на екран виводяться всі елементи множини C, що є симетричною різницею множин A і B. Іншого способу дізнатися склад множини, крім використання оператора inні.	($mode delphi) Program Sample4; Var a, b, c: set of Byte; b:=; For i:=0 To 255 Do
	Перевірка нерівності множин. AB має значення trueякщо безліч A не дорівнює безлічі B.	($mode delphi) Program Sample5; Var a, b: set of Byte; b:=;

Приклади розв'язання задач

Завдання 1

Чи є у рядку sхоча б дві однакові малі англійські літери? (Наприклад, у рядку "book" такі літери є. Це буква "o". А в рядку "Elem 1221" немає.)

Рішення

Нехай M- безліч всіх малих англійських букв від aдо z. Позначимо через Bбезліч вже знайдених при перегляді з початку рядка малих англійських букв.

Можна запропонувати такий алгоритм.

Якщо ми дійшли до пункту 5 алгоритму, то жодної малої англійської літери в рядку немає.

Напишемо програму.

Program EngLetter;

i, len: Integer;

B, M: set of Char;

WriteLn("Введіть рядок");
len:=length(s);
While iBegin

If s[i] in B Then
WriteLn("Є");
End;

If s[i] in M Then

B: = B +]; //Об'єднання множин

End;

WriteLn("Ні");

Завдання 2

Дано натуральні числа і . (

) Чи є в десятковому записі натуральних чисел та однакові цифри?

Рішення

Нехай - безліч цифр числа, а - безліч цифр числа. Тоді безліч цифр, які є і в записі числа, і в записі числа,

Якщо то загальні цифриє. Кожна з описаних множин містить не більше 10 елементів, кожен елемент не більше 10. Це означає, що для їх представлення можна використовувати множину мови Паскаль.

Визначимо типи даних

Type Digit = 0..9;

SetDigit = set of Digit;

Виділимо підзавдання побудови множини цифр натурального числа xу процедуру

Тоді можна запропонувати наступний алгоритм розв'язання задачі.

Тепер складемо алгоритм процедури MakeSet.

Що означає вираз «у записі числа залишилася хоча б одна цифра»? Знаходячи неповні приватні від розподілу на 10, ми отримаємо нуль.

За цим алгоритмом складемо програму.

Type Digit = 0..9;

SetDigit = set of Digit;

Procedure MakeSet(x: Integer; out s: SetDigit);

Var last: Digit;

s:=; //Поки що не знайшли жодної цифри числа x

While x>0 Do
last:= x mod 10; //Остання цифра числа x

s:=s+; //Включаємо last до множини цифр цисла x

x:=x div 10 //Відчіплюємо останню цифру

End;

Var m,n,s,r: Integer;

Write("m, n = ");
MakeSet(s,A);

WriteLn("сума", s);

WriteLn("різниця", r);

WriteLn("Загальних цифр немає")

WriteLn("Загальні цифри є")

Запитання та завдання для самостійного вирішення

Обчисліть без комп'ютера
1. d:=+;
2. c:=*;
3. c:= – ;
4. x:=10 in;
Чи можна як базовий тип при описі безлічі використовувати ShortInt? Byte? Int64? Char? String? Double?
Напишіть програму розв'язання задачі. Скільки непарних цифр є у запису рядка s? Кожну цифру рахувати стільки разів, скільки вона зустрічається у рядку. Наприклад, у рядку "AwDc12 h215" непарних цифр три: дві одиниці та п'ятірка.
Рядок містить текст російською мовою, записаний великими літерами. Виведіть ті голосні літери, яких немає у цьому тексті.
Визначте, які символи рядка bнемає в рядку a. Наприклад, якщо a= "abcd", b="baMCc", відповіддю буде "MC".
Визначте загальні цифри у записі натуральних чисел aі b, тобто. цифри, які є і в записі числа a, і в записі числа b. Чи правильно, що число cзаписано тільки з використанням цих загальних для aі bцифри за умови, що цифри можна використовувати повторно?
Наприкінці пропозиції ставиться один із розділових знаків: точка, знак питання, знак оклику - або їх комбінація, наприклад, три точки поспіль, знак питання з окликом, кілька знаків оклику. Напишіть програму підрахунку кількості пропозицій у заданому рядку. Між поспіль знаками пунктуації прогалин немає.

Література

Michaël van Canneyt. Reference guide for Free Pascal, version 2.4.2. - Листопад 2010
Borland Help для BDS2006.
Колмогоров А.М., Фомін С.В. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу.: Підручник для вузів. - М: Наука, 1989.
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Рівест Р., Штайн К. Алгоритми. Побудова та аналіз. Друге видання. - Москва, Санкт-Петербург, Київ. Видавництво "Вільямс", 2010.
Безліч. // http://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
Фаронов В.В. TurboPascal 7.0. Початковий курс. Навчальний посібник. - М: «Нолідж», 1998

Цілі та завдання уроку:

Освітні:

повторити та закріпити отримані уявлення:
про множину, елемент множини, підмножина, перетин множин, об'єднання множин;
закріпити вміння:
визначати приналежність елементів множини та її підмножини (підмножин), а також множини, яка є перетином, об'єднанням множин;
знаходити на схемі область елементів, що не належать множині, а також область множини, яка є перетином, об'єднанням множин і називати елементи з цієї галузі;
визначати характер відносин між двома заданими множинами (множина-підмножина, мають перетин, не мають перетину);
правильно зображати запропоновану ситуацію;
навичок роботи на комп'ютері в графічному редакторі Paint.

Розвиваючі:

сприяти розвитку в дітей віком вміння спостерігати, порівнювати, узагальнювати;
вчити дітей міркувати та доводити;
сприяти розвитку мислення, пам'яті, уваги;
сприяти розвитку мови;
розвивати пізнавальну діяльність учнів;
розвивати інтерес до предмета;
розвивати вміння працювати на персональному комп'ютері.

Виховують:

виховувати доброзичливі стосунки у учнівському колективі;
виховувати пізнавальну потребу;
виховувати самостійність у роботі, акуратність;
виховувати взаєморозуміння та впевненість у собі.

Тип заняття:Повторення та узагальнення вивченого матеріалу.

Обладнання та використання навчального матеріалу.

1. "Інформатика в іграх та завданнях". 3 клас у 2-х частинах. Підручник-зошит, часть2. Авторський колектив Горячев А.В., Горіна К.І., Суворова Н.І. - М.: "Баласс", 2008.

2. Роздатковий матеріал. Завдання на аркушах. Додаток 2.

3. Персональний комп'ютер. Пакет прикладної програми "Графічний редактор Paint".

4. Мультимедіапроектор.

5. Інтерактивна дошка та програмне забезпечення SmartBoard. Презентація "Множини. Відносини між множинами". Додаток 1.

6. Комплект цифр від 1 до 5 для кожного учня (бажано, щоб кожна цифра мала свій колір).

Хід уроку

I. Організаційний момент

ІІ. Повторення та узагальнення матеріалу.

Робота з інтерактивною дошкою

1 сторінка. Назва теми.

2 сторінка. Безліч. Елементи множини.

Усна робота (вчитель ставить запитання, а учні відповідають)

Що таке безліч? ( група предметів із загальною назвою).

З чого складаються множини? (З елементів).

Наведіть приклад порожньої множини (Більшість хвостів у людей, безліч рук у тварин, ......);множини з одним елементом (Більшість букв К в російському алфавіті, голів у людини, ......).

Які множини зображені на малюнку? Скільки елементів належить даній множині? (Більшість будинків - три елементи, безліч відер - один елемент, безліч дерев - багато елементів, безліч кольорів - багато елементів, безліч каменів - вісім елементів, ......).

Так скажіть, скільки елементів може включати безліч? ( множина може включати один елемент, може містити багато і не дуже багато елементів і може бути порожнім - це безліч, в якому немає жодного елемента).

Завдання на сторінці 3-6 виконуються одночасно на дошці та на робочих аркушах. Учні виходять по черзі до дошки.

3 сторінка. Безліч. Підмножини.

Усно.

Як називається множина, яка входить в іншу множину? (Підмножина).

Робота з інтерактивною дошкою.(До дошки виходять по черзі три учні і заштриховують кола за допомогою стиуса).

Щоб виконати це завдання учні повинні знайти позначення кожної множини в таблиці, визначити скільки містить більше елементів і зафарбувати великі кола.

Перший учень: Дітей більше, ніж третьокласників та школярів, значить червоним кольором зафарбовуємо найбільше коло.
Другий учень: Школярів більше, ніж третьокласників, отже, середнє коло зафарбовуємо синім кольором.
Третій учень: Третьокласників менше ніж школярів та дітей, отже найменше коло зафарбовуємо зеленим кольором.

додаток) і зафарбовують кола за допомогою кольорових олівців.

4 сторінка. Перетин множин.

Усно.

Які множини називаються такими, що перетинаються? (якщо вони мають спільні елементи).

Завдання:Розподілити елементи за відповідними множинами.

Учні по черзі виходять до дошки і переміщують елементи за відповідними множинами, при цьому потрібно пояснити, чому він розподіляє даний елемент до конкретної множини.

Наприклад: кавун - їстівний, але не червоний - безліч їстівних; перець - їстівний та червоний - перетин множин; сукня - червона, але не їстівна - безліч червоних; м'яч - не їстівний і червоний - розташовується поза множин.

Інші учні працюють на робочих аркушах (див. додаток) та показують шлях переміщення за допомогою стрілки.

5 сторінка. Взаємне розташування множин.

Другий учень: Безліч диких тварин та безліч домашніх тварин. Ці множини мають однакові елементи (наприклад, свиня, качка, гусак - домашня тварина та дика), отже вони перетинаються. Поєднуємо з першою схемою.

Третій учень: Безліч птахів та безліч комах. Немає таких птахів, які були б комахами і немає таких комах, які були б птахами, отже множини не перетинаються. З'єднуємо із третьою схемою.

Завдання:Встановити відповідність між схемою та множинами.

6 сторінка.Безліч. Елементи множини. Перетин та об'єднання множин (Слова "НЕ", "І", "АБО").

Завдання:Впишіть у фігури номери малюнків. Скільки білочок у кожній множині? (Запиши відповіді у клітинах таблиці). Зафарбуй у таблиці частини фігур.

Відповіді учнів:

Білочок малюнку 9.

Білочок із грибами 3.

Білочок із горіхами 4.

Білочок з грибами та горіхами 1 (рис.9). У таблиці зафарбовується область перетину кола і овалу, на схемі області перетину записується цифра 9.

Білочок з грибами чи горіхами 6 – це білочки у яких є і гриби та горіхи (рис.9), тільки горіхи (рис.3,7), тільки гриби (рис.1, 4, 6). У таблиці зафарбовується все коло та весь овал. На схемі у колі, поза овалу записуються цифри 3, 7; в овалі поза кола - цифри 1,4, 6.

Білочок, які не мають грибів 6 (рис.1, 2, 4, 5, 6, 8). У таблиці не зафарбовується лише область кола.

Білочок, які не мають горіхів 5 (рис.2, 3, 5, 7, 8). У таблиці не зафарбовується лише область овалу.

На схемі у прямокутнику, за межами кола та овалу записуються цифри 2, 5, 8 – це білочки, у яких немає горіхів та грибів.

ІІІ. Фізкультхвилинка

Робот робить зарядку і рахує по порядку:

Раз!- контакти не іскорять,
- Два! - Суглоби не скриплять,
-Три! - Прозорий об'єктив.
Я справний і гарний!

1,2,3,4,5 - Можна до діла приступати!

IV. Контроль знань. Самостійна робота.

Учні класу поділяються на дві групи.

1 група виконує завдання на листочках Додаток 3, 2 група виконує завдання на комп'ютерах Додаток 4.Через 5-7 хвилин учні змінюються місцями.

Завдання на листочках виконується за допомогою кольорових олівців.

1 завдання.За допомогою геометричних фігур прямокутник та коло зобразити запропоновану ситуацію.

2 завдання.Зафарбувати частину схеми те щоб висловлювання було істинним.

Завдання на комп'ютерах виконується у графічному редакторі Paint. Перше та друге завдання представлені в одному файлі.

Шлях до файлу (учитель промовляє, а учні виконують його команди).

Робочий стіл -> Папка 3 клас -> (відкрити подвійним клацанням миші)-> Файл Самостійна робота -> (правою кнопкою миші)-> Відкрити за допомогою Paint.

1 завдання.За допомогою геометричних примітивів прямокутник та еліпс зобразити запропоновану ситуацію.

2 завдання.За допомогою інструмента Заливка зафарбувати частину схеми так, щоб висловлювання було дійсним.

Після виконання завдань вчителем здійснюється перевірка правильності виконання роботи.

V. Підсумки уроку.

Хлопці, сьогодні ми з вами повторили, що така множина, підмножина, перетин та об'єднання множин.

Так скажіть, скільки ж елементів може бути в багатьох? (скільки завгодно).
Як називається множина, яка входить в іншу множину? (Підмножина).
А які ж елементи входять у перетин двох множин? (які входять і до одного, і до іншого безліч).

VI. Домашнє завдання.

1 завданняпредставлено на листочках і лунає кожному учневі (див. додаток). Зафарбуй у таблиці частини фігур. Подивись у таблиці, скільки їжачків має бути в кожній множині. Розфарбуй їжачків. Впиши числа у порожні клітини таблиці.

2 завданнявиконується за бажанням учня. Вигадати завдання на взаємне розташування множин. Оформити роботу на аркушах формату А4. Робота має містити назву множин, схему, малюнки.

VII. Рефлексія.