Завдання з параметром з еге минулих років. Алгебраїчні рівняння вищих ступенів із параметрами

1.1. Загальна методична концепція розв'язання рівнянь із параметрами

Нехай дано рівняння F(x, a) = 0, (1)

якщо ставиться завдання кожного значення а А розв'язати рівняння (1) щодо х, тобто. отримати рівняння

то рівняння (1) називається рівнянням з невідомим хта параметром а. А – сфера зміни параметра. Вважають, що А – безліч дійсних чисел. Вирішити рівняння (1) – означає розв'язати безліч рівнянь, які виходять із рівняння (1) при R. Зробити це можна, якщо за деякою ознакою розбити безліч А на підмножини і вирішити задане рівняння на кожному з них. Значення аназиваються контрольними.

1.2. Використання параметра як рівноправної змінної

Деякі рівняння буває доцільно вирішувати, розглядаючи їх як рівняння саме щодо параметра, який фігурує в умові, а не щодо змінної, що шукається. Цей шлях ефективний, зокрема, у випадках, коли ступінь змінної відносно високий, а ступінь параметра дорівнює двом.

Приклад 1. Вирішити рівняння параметра.

2x 3 – (а+2)х 2 – ах + а 2 = 0 (1)

Рішення: Дане рівняння можна розглядати як квадратне щодо параметра а,переписавши його у вигляді:

а 2 - х (х + 1) а - 2х 2 + 2х 3 = 0 (2)

Знайдемо дискримінант D.

D = х 2 (х + 1) 2 - 8 (х 3 - х 2) = х 4 - 6х 3 + 9х 2 = х 2 (х 2 - 6х + 9) = х 2 (х - 3) 2 .

D = х 2 (х - 3) 2

Знайдемо коріння рівняння (2).

; а 2 = 2х.

Отримаємо рівняння (а - х 2 + х) (а - 2х) = 0 рівносильне вихідному рівнянню, яке ще в свою чергу рівносильне сукупності

Розглянемо рівняння х 2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.

D = 0 при а = -1/4 один корінь х = 1/2

D< 0 при а < - 1/4 корней нет

D > 0 при а > -1/4 два корені

Розглянемо рівняння х = а/2, за а = -1/4, х = -1/8.

Вибираємо відповідь.

Відповідь: при а > -1/4 три корені: х1 = а/2,

при а = -1/4 два корені: х1 = -1/8; х 2 = ½

при а< - 1/4 один корень: х = а/2.

Вправи

Розв'язати рівняння.

2x 4 – (а+2)х 3 – (а – 1)х 2 + (а 2 – 1) = 0;
x 4 + 6х 3 + (4 - 2а) х 2 - (6а + 1) х + а 2 + а = 0;
х 3 + (2а - 3) х 2 + (а 2 - 4а + 2) х - а 2 + 2а = 0;
х 3 - (2а + 3) х 2 + (а 2 + 4а + 2) х - а 2 - 2а = 0.

1.3. Графічний спосіб розв'язання рівнянь із параметрами

Погляд параметр як на рівноправну змінну знаходить свій відбиток у графічних методах. Справді, оскільки параметр «рівний у правах» зі змінною, йому, природно можна назвати і свою координатну вісь. Таким чином, виникає координатна площина (х; а). Розглянемо приклади.

Приклад 1. Залежно від параметра авизначити кількість коренів рівняння.

x 4 - 10х 3 - 2 (а - 11) х 2 + 2 (5а + 6) х + 2а + а 2 = 0;

Рішення. Розглянемо це рівняння як квадратне щодо а.

а 2 + 2а (1 + 5х - х 2) + (Х 4 - 10х 3 + 22х 2 + 12х) = 0;

Знайдемо дискримінант

D/4 = 1 + 25х 2 + х 4 + 10х - 10х 3 - 2х 2 - х 4 + 10х 3 - 22х 2 - 12х = х 2 - 2х +1 = = (х - 1) 2

Знайдемо а 1 і а 2; а 1 = х 2 -5х - 1 + х - 1 = х 2 - 4х - 2;

а 2 = х 2 -5х - 1 - х + 1 = = х 2 - 6х.

Тепер звертаємось до координатної площини(х; а).

х 2 - 4х - 2 = х 2 - 6х, 2х = 2, х = 1, а (1) = -5.

Відповідь: якщо а< -9, то нет решений;
якщо а = -9 то одне рішення;
якщо -9< a < -6, то два решения;
якщо а = -6 чи а = -5, то три рішення;
якщо -6< а < -5 или а >-5, то чотири рішення.

Вправи

Знайти всі значення параметра, при кожному з яких рівняння має три рішення.

(Х 2 - 12а) 2 - 24х 2 + 32х + 96а = 0;
(2х 2 - а) 2 - 24х 2 + 16х + 4а = 0;
(2х 2 - а) 2 = 13х 2 + 6х - 2а = 0.

1.4. Використання властивостей функцій для вирішення рівнянь алгебри

На випускних іспитах за курс середньої школитрапляються рівняння з параметром, вирішення яких пов'язане з використанням парності функцій. Нагадаємо визначення парності функції.

Визначення.Функція f(x) називається парною, якщо f(-x) = f(x) для будь-якого х з області визначення цієї функції. Графік парної функції симетричний щодо осі ординат. У парної функції область визначення симетрична щодо початку координат.

Приклад 1. Чи може за будь-якого значення арівняння

2х 8 - 3ах 6 + 4х 4 - ах 2 = 5 мати 5 коренів?

Рішення. Позначимо f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2. f(x) – функція парна, тому, якщо х0 – корінь цього рівняння, то – х 0 – теж, х = 0 перестав бути коренем даного рівняння (0 ≠ 5). Отже, кількість коренів у цього рівняння за будь-якого дійсного апарно, тож 5 коренів воно мати не може.

Відповідь: не може.

Приклад 2. При якому значенні арівняння х 10 - а | х | + a 2 - а = 0 має єдине рішення?

Рішення. Позначимо f(x) = х 10 - а | х | + a 2 – а, f(x) – функція парна, тому, якщо х0 – корінь цього рівняння, то – х 0 – теж. Отже, для єдиності рішення необхідно, щоб х 0 = 0. У цьому випадку з рівняння отримаємо: a 2 – а = 0, а = 0 або а = 1. Перевіримо достатність кожного з отриманих значень параметра а,

при а = 0, x 10 = 0, тобто. х = 0 єдине рішення.

при а = 1, х 10 - | = 0. Корінням є числа ±1,0.

Відповідь: за а = 0 рівняння має єдине рішення.

Вправи

1.5. Метод заміни

Як ми вже знаємо, що раціональне та швидке рішення рівняння залежить від заміни змінної. Розглянемо приклади, на вирішення яких потрібні спеціальні заміни, які призводять саме до швидкого вирішення рівнянь.

Мета цієї роботи – вивчення різних способіввирішення завдань із параметрами. Можливість та вміння вирішувати завдання з параметрами демонструють володіння методами розв'язання рівнянь та нерівностей, осмислене розуміння теоретичних відомостей, рівень логічного мислення, стимулюють пізнавальну діяльність. Для розвитку цих навичок необхідні триваліші зусилля, саме тому в профільних 10-11 класах з поглибленим вивченням точних наук запроваджено курс: “Математичний практикум”, частиною якого є вирішення рівнянь та нерівностей із параметрами. Курс входить до дисциплін, включених у компонент навчального плану школи.

Успішному вивченню методів розв'язання завдань із параметрами можуть допомогти елективний чи факультативний курси, або компонент за сіткою на тему: “Завдання з параметрами”.

Розглянемо чотири великі класи завдань із параметрами:

Рівняння, нерівності та їх системи, які необхідно вирішити для будь-якого значення параметра або для значень параметра, що належать певній множині.
Рівняння, нерівності та його системи, котрим потрібно визначити кількість рішень залежно від значення параметра.
Рівняння, нерівності та його системи, котрим потрібно знайти всі значення параметра, у яких зазначені рівняння (системи, нерівності) мають задане число рішень.
Рівняння, нерівності та його системи, котрим за шуканих значеннях параметра безліч рішень задовольняє заданим умовам області визначення.

Методи вирішення завдань із параметрами.

1. Аналітичний метод.

Це спосіб прямого рішення, що повторює стандартні процедури знаходження відповіді у завдання без параметра.

Приклад 1. Знайдіть усі значення параметра a, При яких рівняння:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 має трохи більше одного кореня.

При 2 a- 1 = 0 дане рівняння квадратним не є, тому випадок a=1/2 розбираємо окремо.

Якщо a= 1/2, то рівняння набуває вигляду 1/2 x- 2 = 0, воно має один корінь.

Якщо a≠ 1/2, то рівняння є квадратним; щоб воно мало не більше одного кореня, необхідно і достатньо, щоб дискримінант був непозитивний:

D= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

Щоб записати остаточну відповідь, необхідно зрозуміти,

2. Графічний метод.

Залежно від завдання (зі змінною xта параметром a) розглядаються графіки в координатній площині ( x;y) або в площині ( x;a).

Приклад 2. Для кожного параметра aвизначте кількість розв'язків рівняння .

Зауважимо, що кількість рішень рівняння дорівнює кількості точок перетину графіків функцій і y = a.

Графік функції показаний на рис.1.

y = a- Це горизонтальна пряма. За графіком нескладно встановити кількість точок перетину залежно від a(наприклад, при a= 11 – дві точки перетину; при a= 2 – вісім точок перетину).

Відповідь: при a < 0 – решений нет; при a= 0 і a= 25/4 – чотири рішення; при 0< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – сім рішень; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 – два рішення.

3. Метод вирішення щодо параметра.

При вирішенні цим способом змінні хі априймаються рівноправними, і вибирається та змінна, щодо якої аналітичне рішення стає простішим. Після спрощень потрібно повернутися до вихідного змісту змінних хі ата закінчити рішення.

Приклад 3. Знайти всі параметри а, При кожному з яких рівняння = - ax +3a+2 має єдине рішення.

Вирішуватимемо це рівняння заміною змінних. Нехай = t , t≥ 0 тоді x = t 2 + 8 і рівняння набуде вигляду at 2 +t + 5a- 2 = 0 . Тепер завдання полягає в тому, щоб знайти все а, при яких рівняння at 2 +t + 5a- 2 = 0 має єдине невід'ємне рішення. Це має місце у таких випадках.

1) Якщо а= 0, то рівняння має єдине рішення t = 2.

Вирішення деяких типів рівнянь та нерівностей із параметрами.

Завдання з параметрами допомагають у формуванні логічного мислення, придбання навичок дослідницької діяльності.

Вирішення кожної задачі своєрідне і вимагає до себе індивідуального, нестандартного підходу, оскільки не існує єдиного способу вирішення таких завдань.

. Лінійні рівняння.

Завдання № 1. При яких значеннях параметра bрівняння не має коріння?

. Ступінні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання №2. Знайти всі значення параметра a, при яких безліч розв'язків нерівності:

містить число 6, а також містить два відрізки довжиною 6, які не мають загальних точок.

Перетворимо обидві частини нерівності.

Для того, щоб безліч розв'язків нерівності містило число 6, необхідне і достатньо виконання умови:

Рис.4

При a> 6 безліч розв'язків нерівності: .

Інтервал (0;5) не може містити жодного відрізка довжини 6. Отже, два відрізки, що не перетинаються, довжини 6 повинні утримуватися в інтервалі (5; a).

. Показові рівняння, нерівності та системи.

Завдання № 3. У сфері визначення функції взяли всі цілі позитивні числа та склали їх. Знайти всі значення, за яких така сума буде більше 5, але менше 10.

1) Графіком дробово-лінійної функції є гіпербола. За умовою x> 0. При необмеженому зростанні хдріб монотонно зменшується і наближається до нуля, а значення функції zзростають та наближаються до 5. Крім того, z(0) = 1.

2) За визначенням ступеня область визначення D(y)складається з розв'язків нерівності. При a= 1 отримуємо нерівність, яка має рішень немає. Тому функція уніде не визначено.

3) При 0< a< 1 показова функціяз основою аубуває і нерівність рівносильна нерівності. Так як x> 0 то z(x) > z(0) = 1 . Отже, кожне позитивне значення хє рішенням нерівності. Тому для таких азазначену за умови суму не можна знайти.

4) При a> 1 показова функція з основою азростає і нерівність рівнозначно нерівності. Якщо a≥ 5, будь-яке позитивне число є його рішенням, і зазначену в умові суму не можна знайти. Якщо 1< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0) , де a = z(x 0) .

5) Цілі числа розташовані в цьому інтервалі поспіль, починаючи з 1. Обчислимо суми, що послідовно йдуть натуральних чисел, Починаючи з 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10; зазначена сумабуде більше 5 і менше 10 тільки якщо число 3 лежить в інтервалі (0; x 0), а число 4 не лежить у цьому інтервалі. Значить, 3< x 0 ≤ 4 . Оскільки зростає на , то z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

Розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей, а також рівнянь, нерівностей та систем, що містять модулі, розглянуті в Додаток 1.

Завдання з параметрами складні тому, що не існує єдиного алгоритму їх вирішення. Специфікою подібних завдань є те, що поряд з невідомими величинами в них фігурують параметри, чисельні значення яких не зазначені конкретно, але вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині. При цьому значення параметрів суттєво впливають на логічний та технічний перебіг розв'язання задачі та форму відповіді.

За статистикою багато випускників не приступають до вирішення завдань з параметрами на ЄДІ. За даними ФІПД всього 10% випускників приступають до вирішення таких завдань, і відсоток їх правильного вирішення невисокий: 2–3%, тому набуття навичок вирішення важких, нестандартних завдань, у тому числі завдань з параметрами, які навчаються шкіл, як і раніше, залишається актуальним.

Завдання 1 #6329

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких система \[\begin(cases) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end(cases)\]

має рівно чотири рішення.

(ЄДІ 2018, основна хвиля)

Друге рівняння системи можна переписати як \(y=\pm x\) . Отже, розглянемо два випадки: коли \(y=x\) і коли \(y=-x\) . Тоді кількість рішень системи дорівнюватиме сумі кількості рішень у першому та в другому випадках.

1) \ (y = x \). Підставимо в перше рівняння та отримаємо: \ (зауважимо, що у випадку \(y=-x\) ми зробимо так само і теж отримаємо квадратне рівняння)
Щоб вихідна система мала 4 різні рішення, потрібно, щоб у кожному з двох випадків вийшло по 2 рішення.
Квадратне рівняння має два корені, коли його (D>0). Знайдемо дискримінант рівняння (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Дискримінант більше за нуль: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x) . Отримуємо квадратне рівняння: \ Дискримінант більше за нуль: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , звідки \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\right)\).

Необхідно перевірити, чи не збігаються рішення у першому випадку з рішеннями у другому випадку.

Нехай \(x_0\) – загальне рішення рівнянь (1) та (2), тоді \ Звідси отримуємо, що або (x_0 = 0), або (a = 0).
Якщо (a=0) , то рівняння (1) і (2) виходять однаковими, отже, мають однакові корені. Цей випадок нам не підходить.
Якщо \(x_0=0\) – їх загальний корінь, тоді \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\)звідки \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , звідки \(a=-1\) або \(a=-0,6\) . Тоді вся вихідна система матиме 3 різні рішення, що нам не підходить.

З огляду на все це у відповідь підуть:

Відповідь:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; - 2+\sqrt2\right)\)

Завдання 2 #4032

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення \(a\) , при кожному з яких система \[\begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0 \\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

має єдине рішення.

Перепишемо систему у вигляді: \[\begin(cases) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\]Розглянемо три функції: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . З системи випливає, що (y \ leqslant g \), але \ (y \ geqslant h \). Отже, щоб система мала рішення, графік \(y\) повинен знаходитися в області, яка задається умовами: "вище" графіка \(h\), але "нижче" графіка \(g\):

(Зватимемо “ліву” область областю I, “праву” область – областю II)
Зауважимо, що з кожному фіксованому \(a\ne 0\) графіком \(y\) є парабола, вершина якої у точці \((-1;0)\) , а гілки звернені або вгору, або вниз. Якщо \(a=0\) , то рівняння виглядає як \(y=0\) і графіком є пряма, яка збігається з віссю абсцис.
Зауважимо, що для того, щоб вихідна система мала єдине рішення, потрібно, щоб графік \(y\) мав рівно одну загальну точку з областю I або з областю II (це означає, що графік \(y\) повинен мати єдину загальну точку з кордоном однієї з цих областей).

Розглянемо окремо кілька випадків.

1) \ (a> 0 \) . Тоді гілки параболи (y) звернені вгору. Щоб вихідна система мала єдине рішення, потрібно, щоб парабола \(y\) стосувалася межі області I або межі області II, тобто стосувалася параболи \(g\) , причому абсциса точки дотику повинна бути \(\leqslant -3\) або \(\geqslant 2\) (тобто парабола \(y\) повинна торкнутися межі однієї з областей, яка знаходиться вище осі абсцис, раз парабола \(y\) лежить вище осі абсцис).

\(y"=2a(x+1)\), \(g"=2x\). Умови торкання графіків \(y\) і \(g\) у точці з абсцисою \(x_0\leqslant -3\) або \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin(cases) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant - 3 \&x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered)\right. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(cases)\]З цієї системи \(x_0=-4\), \(a=\frac43\).
Набули першого значення параметра \(a\) .

2) (a = 0). Тоді \(y=0\) і видно, що пряма має безліч спільних точок з областю II. Отже, значення параметра нам не підходить.

3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Знайдемо \(a\) , при яких парабола \(y\) проходить через точку \(B\) : \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]Переконуємося, що при цьому значення параметра друга точка перетину параболи \(y=-\frac34(x+1)^2\) з прямою \(h=-2x-1\) – це точка з координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
Таким чином, набули ще одне значення параметра.

Оскільки ми розглянули всі можливі випадки для \(a\) , то підсумкова відповідь: \

Відповідь:

\(\left\(-\frac34; \frac43\right\)\)

Завдання 3 #4013

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких система рівнянь \[\begin(cases) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(cases)\]

має рівно два рішення.

1) Розглянемо перше рівняння системи як квадратне щодо \(x\) : \ Дискримінант дорівнює \(D=9y^2\) , отже, \ Тоді рівняння можна переписати у вигляді \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Отже, всю систему можна переписати у вигляді \[\begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &y=2x\\ &y=0,5x\end(aligned)\end(gathered)\right.\\ (x-a)^2 +(y-a)^2=5a^4\end(cases)\]Сукупність задає дві прямі, друге рівняння системи задає коло з центром в ((a; a)) і радіусом (R = sqrt5a ^ 2). Щоб вихідне рівняння мало два рішення, потрібно, щоб коло перетинало графік сукупності у двох точках. Ось креслення, коли, наприклад, \(a=1\) :

Зауважимо, що оскільки координати центру кола рівні, то центр кола "бігає" по прямій \(y=x\) .

2) Так як у прямої \(y=kx\) тангенс кута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі \(Ox\) дорівнює \(k\) , то тангенс кута нахилу прямої \(y=0,5x\) дорівнює \ (0,5\) (назвемо його \(\mathrm(tg)\,\alpha\) ), Прямий \(y=2x\) - дорівнює \(2\) (назвемо його \(\mathrm(tg)\) , \ beta \))). Зауважимо, що \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), отже, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). Отже, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , звідки \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Це означає, що кут між \(y=2x\) і позитивним напрямом \(Oy\) дорівнює куту між \(y=0,5x\) і позитивним напрямком \(Ox\) :

Оскільки пряма \(y=x\) є бісектрисою I координатного кута (тобто кути між нею і позитивними напрямками \(Ox\) і \(Oy\) рівні по \(45^\circ\) ), то кути між \(y=x\) та прямими \(y=2x\) та \(y=0,5x\) рівні.
Все це нам потрібно було для того, щоб сказати, що прямі \(y=2x\) і \(y=0,5x\) симетричні один одному щодо \(y=x\) , отже, якщо коло стосується однієї з них , то вона обов'язково стосується і другої прямої.
Зауважимо, якщо \(a=0\) , то коло вироджується в точку \((0;0)\) і має лише одну точку перетину з обома прямими. Тобто, цей випадок нам не підходить.
Таким чином, для того, щоб коло мало 2 точки перетину з прямими, потрібно, щоб воно стосувалося цих прямих:

Бачимо, що випадок, коли коло розташовується у третій чверті, симетричний (щодо початку координат) випадку, коли вона розташовується у першій чверті. Тобто в першій чверті \(a>0\), а в третій \(a<0\) (но такие же по модулю).
Тож розглянемо лише першу чверть.

Зауважимо, що \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \ (QK = R = \ sqrt5a ^ 2 \) . Тоді \ Тоді \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]Але з іншого боку, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]отже, \[\dfrac(1-0,5)(1+1\cdot 0,5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a = \ pm \ dfrac15 \]Таким чином, ми вже відразу отримали і позитивне, і негативне значення для (a). Отже, відповідь: \

Відповідь:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Завдання 4 #3278

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення \(a\) , для кожного з яких рівняння \

має єдине рішення.

(ЄДІ 2017, офіційний пробний 21.04.2017)

Зробимо заміну \(t=5^x, t>0\) і перенесемо всі складові в одну частину: \ Отримали квадратне рівняння, корінням якого за теоремою Вієта є \(t_1=a+6\) і (t_2=5+3|a|\) . Для того, щоб вихідне рівняння мало один корінь, достатньо, щоб отримане рівняння з \ (t \) теж мало один (позитивний!) Корінь.
Зауважимо відразу, що (t_2) при всіх (a) буде позитивним. Таким чином, отримуємо два випадки:

1) \(t_1=t_2\): \ &a=-\dfrac14 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]

2) Оскільки \(t_2\) завжди позитивний, то \(t_1\) повинен бути \(\leqslant 0\) : \

Відповідь:

\((-\infty;-6]\cup\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)

Завдання 5 #3252

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

має рівно один корінь на відрізку \(\).

(ЄДІ 2017, резервний день)

Рівняння можна переписати у вигляді: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]Таким чином, зауважимо, що \(x=a\) є коренем рівняння за будь-яких \(a\) , оскільки рівняння набуває вигляду \(0=0\) . Для того, щоб цей корінь належать відрізку \(\) потрібно, щоб \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
Другий корінь рівняння знаходиться з \(x+a=3x-1\), тобто \(x=\frac(a+1)2\). Для того щоб це число було коренем рівняння, потрібно, щоб воно задовольняло ОДЗ рівняння, тобто: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]Для того, щоб цей корінь належав відрізку \(\), потрібно, щоб \ Таким чином, щоб корінь \(x=\frac(a+1)2\) існував і належав відрізку \(\) потрібно, щоб \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Зауважимо, що тоді при \(0\leqslant a\leqslant 1\) обидва корені \(x=a\) і \(x=\frac(a+1)2\) належать відрізку \(\) (тобто рівняння має два корені на цьому відрізку), крім випадку, коли вони збігаються: \ Таким чином, нам підходять \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\)і (a = 1).

Відповідь:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\(1\)\)

Завдання 6 #3238

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має єдиний корінь на відрізку \(.\)

(ЄДІ 2017, резервний день)

Рівняння рівносильне: \ ОДЗ рівняння: \[\begin(cases) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(cases)\]На ОДЗ рівняння перепишеться у вигляді: \

1) Нехай \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Не підходить під (a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Нехай (a = 0). Тоді ОДЗ рівняння: \(x \ geqslant 0 \) . Рівняння перепишеться у вигляді: \ Отриманий корінь підходить під ОДЗ і входить у відрізок \(\). Отже, (a = 0) - підходить.

3) Нехай (0>). Тоді ОДЗ: \(x \ geqslant a \) і \ (x \ leqslant 1 \). Отже, якщо (1>), то ОДЗ - порожня безліч. Таким чином, \(0 Розглянемо функцію \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Досліджуємо її.
Похідна дорівнює \(y"=3x^2-2ax+3a\). Визначимо, якого знака може бути похідна. Для цього знайдемо дискримінант рівняння \(3x^2-2ax+3a=0\): \(D=4a a-9)\) . Отже, при \(a\in(0;1]\) дискримінант \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). Отже, (y) зростає. Таким чином, за якістю зростаючої функції рівняння \(y(x)=0\) може мати не більше одного кореня.

Отже, для того, щоб корінь рівняння (точка перетину графіка \(y\) з віссю абсцис) знаходився на відрізку \(\) , потрібно, щоб \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]Враховуючи, що спочатку в даному випадку \(a\in(0;1]\) , то відповідь \(a\in(0;1]\). Зауважимо, що корінь \(x_1\) задовольняє \((1) \), Корені \(x_2\) і \(x_3\) задовольняють \((2)\).
Розглянемо три випадки:

1) \(a>0\) . Тоді \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) задовольняє \((2)\) , \(x_3\) не задовольняє \((1)\) , або збігається з \(x_1\) , або задовольняє \((1)\) , але не входить у відрізок \(\) (тобто менше \(0\));
- \(x_1\) не задовольняє \((2)\) , \(x_3\) задовольняє \((1)\) і не дорівнює \(x_1\).
Зауважимо, що \(x_3\) не може бути одночасно менше нуля і задовольняти \((1)\) (тобто бути більше \(\frac35\)). Враховуючи це зауваження, випадки записуються в таку сукупність: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>Вирішуючи цю сукупність і враховуючи, що (a> 0 \), отримаємо: \

2) (a = 0). Тоді \(x_2=x_3=3\in .\) Зауважимо, що в цьому випадку \(x_1\) задовольняє \((2)\) і \(x_2=3\) задовольняє \((1)\) , то є рівняння має два корені на \(\). Це значення (a) нам не підходить.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) та \(x_3\notin\) . Розмірковуючи аналогічно пункту 1), необхідно вирішити сукупність: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Вирішуючи цю сукупність і враховуючи, що (a<0\) , получим: \\]

Відповідь:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)