Тема уроку: «Обчислення площ з допомогою інтегралів. Тема уроку: "Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтеграла" Обчислимо площу отриманої фігури за формулою
Тема урока: «Обчислення площ за допомогою інтегралів»
Мета уроку :
виховувати волю та наполегливість для досягнення кінцевих результатівпри знаходженні площі криволінійної трапеції, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, навчити знаходити площі фігур, використовуючи раніше вивчену теорію. Розвивати навички самоконтролю, грамотно виконувати побудову креслень та використовувати їх для ілюстрації рішення. Узагальнити та систематизувати теоретичний матеріал за темою. Відпрацювати навички обчислення функцій. Відпрацювати навички обчислення певного інтегралуза формулою Ньютона-Лейбніца.
Обладнання: інтерактивна дошка, матеріал роздавальний.
Структура уроку:
1. Орг. Момент
2. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань та умінь
3. Новий матеріал
4. Закріплення (робота у групах) диференційований контроль
5. Будинок. зад. (диференційована)
Методи : пояснювально-ілюстративний, частково-пошуковий, практичний
Тип навчального заняття:інтегрований урок
Форми роботи : фронтальна, групова.
Хід уроку:
IОрг. Момент
IIПеревірка будинку. зад:. Повторити поняття первинної, основні формули. (теоретичний матеріал)
Згадати алгоритм побудови квадратичної функції (фронт. Розмова)
Програмований контроль
Завдання | Відповідь |
||||
Варіант 1 | Варіант 2 | ||||
Знайти загальний вигляд первісної функції. |
|||||
Обчисліть: |
|||||
Знайти площу фігури, обмеженою лініями: |
|||||
у = х2, у = 0, х = 2 | у = х3, у = 0, х = 2 |
На столах у кожного кадета лежить ця самостійна робота, яка дає можливість перевірити виконання будинку. роб. Правильна відповідь обводять і здають на перевірку.
IIIТеоретичний матеріал
Завдання 1: Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої віссю OX, прямими x=a, x=b та графіком функції y=f(x)
y(x)=9-x2, x=-1, x=2
Один кадет викликається до дошки та за допомогою програми Advanced Grapher будує криволінійну трапецію та отриманий результат виводить на інтерактивну дошку. Інші працюють у зошитах і потім звіряються з дошкою
На дошці заштриховують криволінійну трапецію, оформляють рішення
https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">
Під час фронтальної бесіди заштрихуємо фігуру, площу якої нам потрібно знайти
Перед кадетами порушується питання: «Отримана постать є криволінійною трапецією? Як ґрунтуючись на раніше отримані знання можна обчислити площу цієї фігури?
Як визначити межі інтегрування для кожної криволінійної трапеції?
Знайдемо точки перетину цих двох функцій:
x2 =2 x- x2 (відповідь учнів)
Висновок: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (на дошці виводиться лише відповідь). Для слабих працюють консультанти.
· Будуємо графіки функцій
Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
Використовуючи цей же креслення, обчисліть площу заштрихованої фігури:
Кадет на дошці збільшує масштаб креслення для кращої наочності.
Як знайти площу цієї фігури?
Учні роблять висновок, що ця фігура складається з двох криволінійних трапецій.
Дайте запишемо отриманий результат у загальному вигляді(кадети роблять висновок самостійно, вчитель грає лише напрямну роль)
· Будуємо графіки функцій
· Знаходимо абсциси точок перетину графіків функцій f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫(g(x)-f(x))dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Кадети роблять висновок:
 |
IV Закріплення (диф. робота у групах)
1 група: Знайдіть площу фігури, обмеженою лініями
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
2 група: Знайдіть площу фігури, обмеженою лініями
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
3 група: Знайдіть площу фігури, обмеженою лініями
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
На дошці виводиться ключ для самоперевірки:
ІІІ група |
||
Підбиття підсумків:
· Як обчислюється площа криволінійної трапеції?
· Які із заштрихованих фігур (див. креслення у зошиті) є криволінійними трапеціями?
· Чому інші фігури не можна назвати криволінійними трапеціями? Як знаходиться їхня площа?
V Диф. будинок. Робота
1 група: № 000, № 000 (2), № 000 (1)
2 група: №000(2), №1, №000(4)
Практична робота на тему: «Обчислення площ плоских фігур з допомогою певного інтеграла»
Мета роботи: освоїти вміння вирішувати завдання на обчислення площі криволінійної плоскої фігури за допомогою певного інтегралу.
Обладнання: інструкційна карта, таблиця інтегралів, лекційний матеріал на тему: «Певний інтеграл. Геометричний змістпевного інтегралу».
Методичні вказівки:
1) Вивчіть матеріали лекції: «Певний інтеграл. Геометричний зміст певного інтегралу».
Короткі теоретичні відомості
Певний інтеграл функціїна відрізку - це межа, до
якому прагне інтегральна сума при прагненні нулю довжини найбільшого часткового відрізка.
Нижня межа інтегрування - верхня межа інтегрування.
Для обчислення певного інтегралу служить формула Ньютона-
Лейбниця:
Геометричний зміст певного інтегралу. Якщо інтегрована на
Відрізка функція невід'ємна, то чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції:
Криволінійна трапеція - фігура, обмежена графіком функції
Осью абсцис і прямими, .
Можливі різні випадки розташування плоских фігур у координатної площини:
Якщо криволінійна трапеція з основою обмежена знизу кривою , то з міркувань симетрії видно, що площа фігури дорівнює чи.
Якщо фігура обмежена кривою, яка набуває і позитивних, і негативних значень . У цьому випадку, щоб обчислити площу шуканої фігури, необхідно розбити її на частини, тоді
Якщо плоска фігура обмежена двома кривими та , то її площу можна знайти за допомогою площ двох криволінійних трапецій: і.У даному випадку площу шуканої фігури можна обчислити за формулою:
приклад. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:
Рішення. 1) Побудуємо параболу та пряму в координатній площині (Малюнок до завдання).
2) Виділимо (заштрихуємо) фігуру, обмежену даними лініями.
Малюнок до завдання
3) Знайдемо абсциси точок перетину параболи та прямої. Для цього вирішимо
систему способом порівняння:
Площа фігури знайдемо як різницю площ криволінійних трапецій,
обмежених параболою та прямою.
5) Відповідь.
Алгоритм розв'язання задачі на обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями:
Побудувати в одній координатній площині задані лінії.
Заштрихуйте фігуру, обмежену даними лініями.
Визначити межі інтегрування (знайти абсциси точок перетину кривих).
Обчислити площу фігури, вибравши необхідну формулу.
Записати відповідь.
2) Виконайте таке завдання по одному з варіантів:
Завдання. Обчислити площі фігур, обмежених лініями (користуйтесь алгоритмом розв'язання задачі на обчислення площі фігури):
Розділи: Математика
Цілі уроку:узагальнення та вдосконалення знань на цю тему.
Завдання:
- Навчальні:
- організація спілкування під час уроку (учитель – учень, учень – вчитель);
- реалізація диференційованого підходу до навчання;
- забезпечити повторення основних понять.
- Розвиваючі:
- розвивати вміння виділяти головне;
- логічно викладати думки.
- Виховні:
- формування культури навчальної діяльності та інформаційної культури;
- виховання вміння долати труднощі.
Схема уроку.
Під час перегляду презентації учні відповідають на запитання:
- Що називається криволінійною трапецією?
- Чому дорівнює площа криволінійної трапеції?
- Дайте визначення інтегралу.
Клас розбитий на 2 підгрупи. Перша підгрупа сильніша, ніж друга, тому 2 підгрупа спочатку працює з учителем (повторює правила обчислення інтегралів – перевірка йде біля дошки), а потім працює за комп'ютером, виконуючи самостійну роботу. Друга підгрупа із середніми здібностями працює самостійно. У дидактичній грі"Інтеграл" необхідно розшифрувати вислів: "Чиста совість - найм'якша подушка". Домашнє завданнядається творче - підібрати 5 оригінальних прикладів на знаходження площ плоских фігур із кресленнями.
Варіант №1.
Інструкція
2. Побудова графіків:
а) Графіки – Додати графік… - в полі Формулавведіть формулу функції – виберіть товщину лінії – ОК.
.
Правка – Додати тегу…
Вигляд – Списки графіків.
Завдання
а) _______________
б) _______________
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками цих функций:
а) ________________________
________________________
________________________б)________________________
________________________
________________________
Самостійна робота "Обчислення площі плоских фігур за допомогою певного інтегралу"
Учні____11 класу, групи ____________________________
Варіант 2
Інструкція
1. Відкрийте графобудівник Advanced Grapher з робочого столу.
2. Побудова графіків:
а) Графіки – Додати графік…
б) Для позначення ступеня використовуйте знак ^ (наприклад, )
в) Для набору тригонометричних функцій використовуйте схему: Графіки – Набір властивостей – Тригонометричний набір. Далі за звичайною схемою, але необхідно збільшити масштаб.
3. Підписати назву функції: Правка – Додати тегу…
4. Вимкнути відображення всіх графіків на панелі: Вигляд – Списки графіків
Завдання
1. Користуючись інструкцією, що додається, побудуйте графіки функцій:
2. Знайдіть точки перетину цих графіків
а) ______________________________
б) ______________________________
3. Визначте проміжок інтегрування
а) _______________
б) _______________
а) ________________________
________________________
________________________
б) ________________________
________________________
________________________
Самостійна робота "Обчислення площі плоских фігур за допомогою певного інтегралу"
Учні____11 класу, групи ____________________________
Варіант 3.
Інструкція
1. Відкрийте графобудівник Advanced Grapher з робочого столу.
2. Побудова графіків:
а) Графіки – Додати графік…– у полі Формула введіть формулу функції – виберіть товщину лінії – ОК.
б) Для позначення ступеня використовуйте знак ^ (наприклад, )
в) Для набору тригонометричних функцій використовуйте схему: Графіки – Набір властивостей – Тригонометричний набір.Далі за звичайною схемою, але необхідно збільшити масштаб.
3. Підписати назву функції: Правка – Додати тегу…
4. Вимкнути відображення всіх графіків на панелі: Вигляд – Списки графіків
Завдання
1. Користуючись інструкцією, що додається, побудуйте графіки функцій:
а)
2. Знайдіть точки перетину цих графіків
а) ______________________________
б) ______________________________
3. Визначте проміжок інтегрування
а) __________________
б) __________________
4. Обчисліть площу фігури, обмежену графіками цих функцій.
а) ________________________
________________________
________________________
б) ________________________
________________________
________________________
на цю темувідводиться три уроки, цей урок -другий.
Цілі уроку:
Закріплення та поглиблення знань про певний інтеграл та його додаток до знаходження площі фігур;
Формування умінь щодо застосування знань та способів дій у змінених та нових навчальних ситуаціях; - розвиток інформаційної та комунікативної культури учнів;
Виховання пізнавальної активності, вміння працювати в колективі, завзяття та досягнення мети.
Завдання уроку:
Повторити таблицю та правила знаходження первісних, поняття криволінійної трапеції, алгоритм знаходження площі криволінійної трапеції; - Застосувати наявні знання та вміння для знаходження площ плоских фігур.
Форми організації роботи учнів: робота у групах.
Обладнання та програми, що використовуються: інтерактивна дошка Smart Board, «Жива математика».
Використовувані функції програмного забезпеченняінтерактивної дошки:
Функція – шторка:
Функція - клонування об'єкта:
Функція – перетягування об'єкта;
Функція – розумне перо.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Урок на тему: «Обчислення площ фігур за допомогою інтегралів»
В 11 класі.
Хід уроку:
- Організаційний момент ((перевіряється готовність до уроку, оголошується тема і мета уроку, записується число).
Урок проходить під гаслом: Скажи мені, і я забуду, Покажи мені, і я запам'ятаю, Дай мені діяти самому, І я навчуся.
Конфуцій.
- Етап актуалізації отриманих раніше знань(мета даного етапу: повторити таблицю та правила знаходження первісних, поняття криволінійної трапеції, алгоритм знаходження площі криволінійної трапеції).
Вчитель: На попередніх уроках ми познайомилися з поняттям первісної, з таблицею та правилами їх знаходження.
Питання 1 : Що називається первісною для функції у = f(х) на деякому інтервалі?Питання 2 : Як задати всі первісні функції у = f(х), якщо F(х) – одна з них?Питання 3: Перерахуйте правила знаходження первісних. Після відповіді учнів відкривається 2 слайд, відсувається шторка, за якою приховані питання для учнів.Завдання 1 : Знайти одну з першорядних функцій. (Учні функцією -перетягування ставлять у відповідність функцію і першорядну).Завдання 2 : Для зазначеної функції знайти одну з первісних, графік якої проходить через цю точку. (Учні на місцях самостійно вирішують, один із учнів перевіряє відповідь, відсуваючи екран).
А) Функції: 2х 5 - 3х 2; 3 cos x - 4 sin x; 3е х + 5 х - 2; е 2х - cos3х; 1/х + 1/ sin 2 х – х.
Первинні: ln | x | - ctg x – x 2/2; 1/2е 2х - 1/3 sin 3x; х 6/3 - х 3; 3 sin x + 4 cos x; 3е х + 5 х/ln5.
Б) Для функції f(х) = 2х + 3 знайти первісну, графік якої проходить через точку М(1; 2).
Питання 4: Яку фігуру називають криволінійною трапецією?Завдання 3: Записати умову у визначенні, записаному на слайді.Завдання 4: Записати формулу Ньютона Лейбніца.
Завдання 5: Обчислити інтеграл. (Учні обчислюють самостійно, з наступною перевіркою). а)х 2 - 2х) dx; б)
Завдання 6: Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = 0, х = е, у = 1/х. (Учні самостійно виконують завдання з подальшою перевіркою, відкриваючи екрани на дошці).
- Етап формування та відпрацювання умінь та навичок при вирішенні різних завдань на тему «Обчислення площ фігур за допомогою інтегралів»
1.Учні згадують властивості площ
і наводять приклад фігури, площу якої можна обчислити за формулою S =Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = 0, у = х 2 – 4. (Один учень за допомогою функції – розумне перо пише рішення на інтерактивній дошці).
2. Учні обговорюютьплан обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = х 2 - 6х +11 і у = х +1. Кожен етап супроводжується відкриттям шторки.
- Робота у групах. Клас заздалегідь поділений на групи. Три учні працюють біля дошки, а решта учнів за трьома варіантами (групи розбиті за варіантами) на місцях:Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:1 варіант - у = (х - 3) 2 , у = 0, х = 1, х = 4. 2 варіант - у = х - 2, у = х 2 - 4х+2. 3 варіант - у = х, у = 5 - х, х = 1, х = 2. Перевірка після відкриття екранів.
- Робота у групах. Для кожного з наступних 8 слайдів необхідно обчислити площу фігури. Учнів у групах є набір даних малюнків. Учні вибирають формулу, за якою можна знайти площу. Відкривається слайд, праворуч від креслення є формули, на які накладено функцію клонування. Після обговорення у групах, виходять по одному учню від групи та пересувають обрану формулу або пишуть свою, якщо такої немає на дошці. Далі слідує обговорення: - Чому обрано цю формулу? - Чи є ще способи знаходження площі цієї фігури? - Яка з формул найбільш зручна у застосуванні
Домашнє завдання.
Підсумок уроку. Учні відповідають питання: - Що було зроблено під час уроку? - Що нового вони дізналися на уроці? - Як їм працювало у цій групі?