Побудови циркулем та лінійкою. Поділ кола на будь-яку кількість рівних частин Коло за допомогою циркуля

У завданнях на побудову циркуль і лінійка вважаються ідеальними інструментами, зокрема лінійка не має поділів і має тільки одну сторону нескінченної довжини, а циркуль може мати скільки завгодно великий або скільки завгодно малий розчин.

Допустимі побудови.У завдання на побудову допускаються такі операції:

1. Відзначити точку:

• довільну точку площини;
• довільну точку на заданій прямій;
• довільну точку на заданому колі;
• точку перетину двох заданих прямих;
• точки перетину/торкання заданого прямого та заданого кола;
• точки перетину/торкання двох заданих кіл.

2. За допомогою лінійки можна побудувати пряму:

• довільну пряму на площині;
• довільну пряму, яка проходить через задану точку;
• пряму, що проходить через дві задані точки.

3. За допомогою циркуля можна побудувати коло:

• довільне коло на площині;
• довільне коло з центром у заданій точці;
• довільне коло з радіусом, що дорівнює відстані між двома заданими точками;
• коло з центром у заданій точці та радіусом, що дорівнює відстані між двома заданими точками.

Розв'язання задач на побудову.Розв'язання задачі на побудову містить у собі три суттєві частини:

1. Опис способу побудови об'єкта, що шукається.
2. Доказ того, що об'єкт, збудований описаним способом, дійсно є шуканим.
3. Аналіз описаного способу побудови щодо його застосовності до різних варіантів початкових умов, а також щодо єдиності або неєдиності рішення, одержуваного описаним способом.

Побудова відрізка, що дорівнює цьому.Нехай даний промінь з початком у точці $O$ і відрізок $AB$. Для побудови на промені відрізка $OP = AB$ необхідно побудувати коло із центром у точці $O$ радіусу $AB$. Точка перетину променя з колом буде точкою $P$.

Побудова кута, що дорівнює цьому.Нехай даний промінь з початком у точці $O$ і кут $ABC$. З центром у точці $В$ будуємо коло з довільним радіусом $r$. Позначимо точки перетину кола з променями $BA$ і $BC$ відповідно $A"$ і $C"$.

Побудуємо коло із центром у точці $O$ радіусу $r$. Точку перетину кола з променем позначимо $P$. Побудуємо коло з центром у точці $P$ радіусу $A"B"$. Точку перетину кіл позначимо $Q$. Проведемо промінь $OQ$.

Отримаємо кут $POQ$, рівний куту$ABC$, оскільки трикутники $POQ$ і $ABC$ рівні по трьох сторонах.

Побудова серединного перпендикуляра до відрізка.Побудуємо два кола, що перетинаються, довільного радіусу з центрами в кінцях відрізка. Поєднавши дві точки їх перетину, отримаємо серединний перпендикуляр.

Побудова бісектриси кута.Намалюємо коло довільного радіусу з центром у вершині кута. Побудуємо два кола, що перетинаються, довільного радіусу з центрами в точках перетину першого кола зі сторонами кута. З'єднавши вершину кута з будь-якою з точок перетину цих двох кіл, отримуємо бісектрису кута.

Побудова суми двох відрізків.Для побудови цьому промені відрізка, рівного сумі двох даних відрізків, необхідно двічі застосувати спосіб побудови відрізка, рівного даному.

Побудова суми двох кутів.Для того щоб відкласти від даного променя кут, що дорівнює сумі двох даних кутів, потрібно двічі застосувати метод побудови кута, що дорівнює даному.

Знаходження середини відрізка.Щоб відзначити середину даного відрізка, потрібно побудувати серединний перпендикуляр до відрізка і відзначити точку перетину перпендикуляра з самим відрізком.

Побудова перпендикулярної прямої через цю точку.Нехай потрібно побудувати пряму, перпендикулярну даній і проходить через цю точку. Проводимо коло довільного радіусу з центром у цій точці (незалежно від того, лежить вона на прямій чи ні), що перетинає пряму у двох точках. Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка з кінцями в точках перетину кола з прямою. Це і буде шукана перпендикулярна пряма.

Побудова паралельної прямої через цю точку.Нехай потрібно побудувати пряму, паралельну даній і проходить через дану точку поза прямою. Будуємо пряму, що проходить через цю точку, перпендикулярну до цієї прямої. Потім будуємо пряму, що проходить через дану точку, перпендикулярну побудованому перпендикуляру. Отримана у своїй пряма і буде шуканою.

При виготовленні чи обробці деталей з деревини в деяких випадках потрібно визначити, де знаходиться їхній геометричний центр. Якщо деталь має квадратну або прямокутну форму, то зробити це не уявляє жодних труднощів. Достатньо поєднати протилежні кути діагоналями, які при цьому перетнуться точно в центрі нашої фігури.
Для виробів, що мають форму кола, таке рішення не підійде, оскільки вони не мають кутів, а значить і діагоналей. І тут необхідний якийсь інший підхід, заснований інших принципах.

І вони існують, причому у численних варіаціях. Одні з них досить складні та вимагають декількох інструментів, інші – легкі у реалізації та для їх здійснення не потрібний цілий набір пристроїв.
Зараз ми розглянемо один із самих простих способівзнаходження центру кола за допомогою лише звичайної лінійки та олівця.

Послідовність знаходження центру кола:

1. Для початку нам треба згадати, що хордою називають пряму лінію, що з'єднує дві точки кола, і не проходить через центр кола. Відтворити її зовсім неважко: необхідно лише покласти лінійку на коло в будь-якому місці так, щоб вона перетинала коло у двох місцях, і провести олівцем пряму лінію. Відрізок усередині кола і буде хордою.
В принципі можна обійтися однією хордою, але для підвищення точності встановлення центру кола намалюємо хоча б пару, а ще краще – 3, 4 або 5 різних по довжині хорд. Це дозволить нам нівелювати похибки наших побудов та точніше впоратися з поставленим завданням.

2. Далі, використовуючи ту саму лінійку, знаходимо середини відтворених нами хорд. Наприклад, якщо загальна довжина однієї хорди дорівнює 28 см, то її центр перебуватиме в точці, яка відстоїть по прямій від місця перетину хорди з колом на 14 см.
Визначивши у такий спосіб центри всіх хорд, проводимо через них перпендикулярні прямі, використовуючи, наприклад, прямокутний трикутник.

3. Якщо ми тепер продовжимо ці перпендикулярні до хордів прямі у напрямі до центру кола, вони перетнуться приблизно однієї точці, що й буде центром кола.

4. Встановивши розташування центру нашого конкретного кола, ми можемо використовувати цей факт у різних цілях. Так, якщо в цю точку помістити ніжку столярного циркуля, то можна накреслити ідеальне коло, а потім вирізати коло, використовуючи відповідний ріжучий інструмент і певну точку центру кола.

Цей урок присвячений вивченню кола та кола. Також вчитель навчить відрізняти замкнені та незамкнені лінії. Ви познайомитеся з основними властивостями кола: центром, радіусом та діаметром. Вивчіть їх визначення. Навчіться визначати радіус, якщо відомий діаметр, і навпаки.

Якщо заповнити простір усередині кола, наприклад, накреслити коло за допомогою циркуля на папері або картоні і вирізати, то отримаємо коло (рис. 10).

Мал. 10. Коло

Коло- Це частина площини, обмежена коло.

Умова:Вітя Верхоглядкін накреслив у своєму колі (рис. 11) 11 діаметрів. А коли перерахував радіуси, отримав 21. Чи правильно він порахував?

Мал. 11. Ілюстрація до завдання

Рішення:радіусів має бути вдвічі більше, ніж діаметрів, тому:

Вітя порахував неправильно.

Список літератури

1. Математика. 3 клас. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 1/[М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова та ін.] - 2-ге вид. – К.: Просвітництво, 2012. – 112 с.: іл. - (Школа Росії).
2. Рудницька В.М., Юдачева Т.В. Математика, 3 клас. - М: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 клас. - М: Ювента.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Домашнє завдання

1. Математика. 3 клас. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 1/[М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова та ін.] - 2-ге вид. - М: Просвітництво, 2012., Ст. 94 №1, ст. 95 №3.

2. Розгадайте загадку.

Ми живемо з братиком дружно,

Нам так весело вдвох,

Ми на лист поставимо кухоль (рис. 12),

Обведемо олівцем.

Вийшло те, що потрібно -

Називається …

3. Необхідно визначити діаметр кола, якщо відомо, що радіус дорівнює 5 м.

4. * За допомогою циркуля накресліть два кола з радіусами: а) 2 см та 5 см; б) 10 мм та 15 мм.

Окружністю називається замкнута крива лінія, кожна точка якої розташована на однаковій відстані від однієї точки, званої центром.

Прямі лінії, що з'єднують будь-яку точку кола з її центром, називають радіусами R.

Пряма АВ, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр О, називається діаметром D.

Частини кіл називаються дугами.

Пряма СD, що з'єднує дві точки на колі, називається хордий.

Пряма МN,яка має тільки одну загальну точку з колом називається дотичної.

Частина кола, обмежена хордою СD та дугою, називається сигментом.

Частина кола, обмежена двома радіусами та дугою, називається сектором.

Дві взаємно перпендикулярні горизонтальна та вертикальна лінії, що перетинаються в центрі кола, називаються осями кола.

Кут, утворений двома радіусами КОА, називається центральним кутом.

Два взаємно перпендикулярний радіусскладають кут 90 0 і обмежують 1/4 кола.

Проводимо коло з горизонтальною і вертикальною осями, які ділять її на 4 рівні рівні. Проведені за допомогою циркуля або косинця під 45 0 дві взаємно перпендикулярні лінії ділять коло на 8-м рівних частин.

Розподіл кола на 3 та 6 рівних частин (кратні 3 трьом)

Для розподілу кола на 3, 6 і кратне їм кількість частин, проводимо коло заданого радіусу та відповідні осі. Поділ можна починати від точки перетину горизонтальної або вертикальної осі з колом. Заданий радіус кола послідовно відкладається 6 разів. Потім отримані точки на колі послідовно з'єднуються прямими лініями та утворюють правильний вписаний шестикутник. З'єднання точок через одну дає рівносторонній трикутник, і розподіл кола на три рівні частини.

Побудова правильного п'ятикутника виконується в такий спосіб. Проводимо дві взаємно перпендикулярні осі кола рівні діаметру кола. Ділимо праву половину горизонтального діаметра навпіл за допомогою дуги R1. З отриманої точки "а" у середині цього відрізка радіусом R2 проводимо дугу кола до перетину з горизонтальним діаметром у точці "b". Радіусом R3 з точки "1" проводять дугу кола до перетину із заданим колом (т.5) і отримують сторону правильного п'ятикутника. Відстань "b-О" дає сторону правильного десятикутника.

Розподіл кола на N-ну кількість однакових частин (побудова правильного багатокутника з N сторін)

Виконується в такий спосіб. Проводимо горизонтальну та вертикальну взаємно перпендикулярні осі кола. З верхньої точки "1" кола проводимо під довільним кутом до вертикальної осі пряму лінію. На ній відкладаємо рівні відрізки довільної довжини, число яких дорівнює числу частин на яке ми ділимо це коло, наприклад 9. Кінець останнього відрізка з'єднуємо з нижньою точкою вертикального діаметра. Проводимо лінії, паралельні отриманій, з кінців відкладених відрізків до перетину з вертикальним діаметром, розділивши таким чином вертикальний діаметр даного кола на задану кількість частин. Радіусом рівним діаметру кола, з нижньої точки вертикальної осі проводимо дугу MN до перетину з продовженням горизонтальної осі кола. З точок M і N проводимо промені через парні (чи непарні) точки поділу вертикального діаметра до перетину з колом. Отримані відрізки кола будуть шуканими, т.к. точки 1, 2, …. 9 ділять коло на 9 (N) рівних частин.

§ 1 Окружність. Основні поняття

У математиці зустрічаються речення, у яких пояснюється сенс тієї чи іншої назви чи висловлювання. Такі речення називають визначеннями.

Дамо визначення поняття коло. Колом називається геометрична фігура, що складається зі всіх точок площини, розташованих на заданій відстані від цієї точки.

Ця точка, назвемо її точка О, називається центром кола.

Відрізок, що з'єднує центр з будь-якою точкою кола, називається радіусомокружності. Таких відрізків можна провести багато, наприклад ОА, ОВ, ОС. Всі вони матимуть одну й ту саму довжину.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається хордою. MN - хорда кола.

Хорда, що проходить через цент кола, називається діаметром. АВ – діаметр кола. Діаметр складається з двох радіусів, отже, довжина діаметра вдвічі більша за радіус. Центр кола є серединою будь-якого діаметра.

Будь-які дві точки кола поділяють її на дві частини. Ці частини називаються дугами кола.

АNВ та АМВ - дуги кола.

Частину площини, яка обмежена колом, називають колом.

Для зображення кола на кресленні користуються циркулем. Окружність можна провести і місцевості. Для цього достатньо скористатися мотузкою. Один кінець мотузки закріпити на вбитий у землю кілочок, а іншим кінцем описати коло.

§ 2 Побудови циркулем та лінійкою

У геометрії багато побудов можна виконати, користуючись лише циркулем і лінійкою без масштабних поділів.

За допомогою тільки лінійки можна провести довільну пряму, а також довільну пряму, що проходить через дану точку, або пряму, що проходить через дві точки.

Циркуль дозволяє провести коло довільного радіусу, а також коло з центром у цій точці та радіусом, рівним даному відрізку.

Окремо кожен із цих інструментів дає можливість зробити найпростіші побудови, а ось за допомогою цих двох інструментів можна вже виконати складніші операції, наприклад,

вирішити такі завдання на побудову, як

Побудувати кут, рівний цьому,

Побудувати трикутник з цими сторонами,

Розділити відрізок навпіл,

Через дану точку провести пряму перпендикулярну до цієї прямої і т.д.

Розглянемо завдання.

Завдання: На даному промені від початку відкласти відрізок, рівний даному.

Дано промінь ОС і відрізок АВ. Необхідно побудувати відрізок ОD, що дорівнює відрізку АВ.

За допомогою циркуля побудуємо коло радіусу, що дорівнює довжині відрізка АВ, з центром у точці О. Це коло перетне даний промінь ОС у деякій точці D. Відрізок ОD - шуканий відрізок.

Список використаної литературы:

1. Геометрія. 7-9 класи: навч. для загальноосвіт. організацій/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін - М.: Просвітництво, 2013. - 383 с.: іл.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочні розробки з геометрії 7 клас. – М.: «ВАКО», 2004. – 288с. – (На допомогу шкільному вчителю).
3. Білицька О.В. Геометрія. 7 клас. Ч.1. Тести. - Саратов: Ліцей, 2014. - 64 с.