Періодичність функцій у = sin х, у = cos х - Гіпермаркет знань. Як визначити періодичність функції Період функції cos 2x

У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій із іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Реєстрація учасників відкрита. Отримайте свій квиток на Марс за цим посиланням.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями у соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Черговий переддень Нового Року... морозна погода та сніжинки на шибці... Все це спонукало мене знову написати про... фрактали, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. З цього приводу є цікава стаття, В якій є приклади двомірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо більше складні прикладитривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що й те й інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку форму, як і сама вихідна фігура. Тобто це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми бачитимемо ту саму форму, що і без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури(не фрактал), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають простішу форму, ніж сама вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає як відрізок прямий. З фракталами такого не відбувається: за будь-якого їх збільшення ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням повторюватиметься знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактал, у своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які однаково складні у своїх деталях, як і у своїй загальній формі. Тобто якщо частина фракталу буде збільшена до розміру цілого, вона виглядатиме, як ціле, або точно, або, можливо, з невеликою деформацією".

Аргументу x, вона називається періодичної, якщо є число T, що з будь-якого x F(x + T) = F(x). Це число T називається періодом функції.

Періодів може бути кілька. Наприклад, функція F = const для будь-яких значень аргументу приймає одне й те саме значення, тому будь-яке число може вважатися її періодом.

Зазвичай цікавить найменший не рівний нулю період функції. Його для стислості і називають просто періодом.

Класичний приклад періодичних функцій – тригонометричні: синус, косинус та тангенс. Їх період однаковий і дорівнює 2π, тобто sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) тощо. Однак, зрозуміло, тригонометричні функції – не єдині періодичні.

Щодо простих, базових функційєдиний спосіб встановити їх періодичність чи неперіодичність – обчислення. Але для складних функцій вже є кілька простих правил.

Якщо F(x) - з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f(x) = F′(x) - теж періодична функція з періодом T. у цій точці до осі абсцис, а оскільки первісна періодично повторюється, то має повторюватися і похідна. Наприклад, похідна від функції sin(x) дорівнює cos(x) і вона періодична. Беручи похідну cos(x), ви отримаєте –sin(x). Періодичність зберігається постійно.

Однак протилежне не завжди вірне. Так, функція f(x) = const періодична, а її первісна F(x) = const*x + C - ні.

Якщо F(x) - періодична функція з періодом T, то G(x) = a*F(kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T/k. Наприклад sin(2x) - періодична функція, та її період дорівнює π. Наочно це можна уявити так: помножуючи x на якесь число, ви стискаєте графік функції по горизонталі саме в стільки разів

Якщо F1(x) і F2(x) - періодичні функції, та його періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій також може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 та T2. Якщо результат розподілу T1/T2 - раціональне число, то сума функцій періодична, та її період дорівнює найменшому загальному кратному (НОК) періодів T1 і T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої - 15, то період їх суми дорівнюватиме НОК (12, 15) = 60.

Наочно це можна так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи пізно (а точніше, саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їхня сума почне новий період.

Однак якщо співвідношення періодів ірраціональне, то сумарна функція не буде періодичною. Наприклад, нехай F1(x) = x mod 2 (залишок від поділу x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут дорівнюватиме 2, а T2 дорівнює 2π. Співвідношення періодів дорівнює π - ірраціональному числу. Отже, функція sin(x) + x mod 2 не є періодичною.

>> Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

§ 11. Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

У попередніх параграфах ми використовували сім властивостей функцій: область визначення, парність чи непарність, монотонність, обмеженість, найбільше та найменше значення, безперервність, область значень функції. Використовували ми ці властивості або для того, щоб побудувати графік функції (так було, наприклад, § 9), або для того, щоб прочитати побудований графік (так було, наприклад, § 10). Тепер настав сприятливий момент для введення ще однієї (восьмої) властивості функцій, яка чудово проглядається на побудованих вище графіках функцій у = sin х(див. рис. 37), у=соs х(див. рис. 41).

Визначення. Функцію називають періодичною, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого х з множин виконується подвійна рівність :

Число Т, що відповідає зазначеній умові, називають періодом функції у = f(х).
Звідси випливає, що оскільки для будь-якого х справедливі рівності:

то функції у = sin х, у = соs х є періодичними та число 2 пслугує періодом і тієї, і іншої функції.
Періодичність функції - і є обіцяне восьме властивість функцій.

А тепер подивіться графік функції у = sin х (рис. 37). Щоб побудувати синусоїду, достатньо побудувати одну її хвилю (на відрізку, а потім зрушити цю хвилю по осі х на У результаті за допомогою однієї хвилі ми побудуємо весь графік.

Подивимося з цього погляду на графік функції у = соs х (рис. 41). Бачимо, що й тут для побудови графіка достатньо спочатку збудувати одну хвилю (наприклад, на відрізку

А потім зрушити її по осі х на
Узагальнюючи, робимо наступний висновок.

Якщо функція у = f(х) має період Т, то для побудови графіка функції потрібно спочатку побудувати гілку (хвилю, частину) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше беруть проміжок з кінцями в точках, а потім зрушити цю гілку по осі х вправо і ліворуч на Т, 2Т, ЗТ тощо.
У періодичної функції нескінченно багато періодів: якщо Т – період, то і 2Т – період, і ЗТ – період, і –Т – період; взагалі періодом є будь-яке число виду KТ, де до = ±1, ±2, ± 3... Зазвичай намагаються, якщо можливо, виділити найменший позитивний період, його називають основним періодом.
Отже, будь-яке число виду 2пк, де до = ±1, ± 2, ± 3, є періодом функцій у = sinп х, у = соs х; 2п-основний період і тієї, і іншої функції.

приклад. Знайти основний період функції:

а) Нехай Т – основний період функції у = sin х. Покладемо

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо
б) Нехай Т - основний період функції у = 0,5х. Покладемо f(х) = 0,5х. Тоді f(х + Т) = 0,5 (х + Т) = 0,5х + 0,5 Т).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність соs (0,5х + 0,5Т)=соs 0,5х.

Значить, 0,5 т = 2пп. Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо 0.5Т = 2 л, Т = 4л.

Узагальненням результатів, отриманих у прикладі, є таке твердження: основний період функції

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст урокуконспект уроку опорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практиказавдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстраціїаудіо-, відеокліпи та мультимедіа фотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповненняреферати статті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручнику оновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителівідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

Відеоурок «Періодичність функцій у = sin х, у = cos х» розкриває поняття періодичності функції, розглядає опис прикладів розв'язання задач, у яких використовується поняття періодичності функції. Цей відеоурок є наочним посібником для пояснення теми учням. Також цей посібник може стати самостійною частиноюуроку, звільняючи вчителя щодо індивідуальної роботи з учнями.

Наочність у поданні цієї теми дуже важлива. Щоб уявити поведінку функції, побудову графіка, її необхідно візуалізувати. Зробити побудови за допомогою класної дошки та крейди не завжди вдається так, щоб вони були зрозумілі всім учням. У відеоуроці є можливість при побудові виділяти частини малюнку кольором, робити перетворення за допомогою анімації. Таким чином, побудови стають більш зрозумілими для більшості учнів. Також можливості відеоуроку сприяють кращому запам'ятовування матеріалу.

Демонстрація починається з подання теми уроку, а також нагадування учням матеріалу, вивченого на минулих уроках. Зокрема, підсумовується перелік властивостей, виявлених у функціях у = sin х, і навіть у = cos х. Серед властивостей функцій, що розглядаються, відзначені область визначення, область значень, парність (непарність), інші особливості - обмеженість, монотонність, безперервність, точки найменшого (найбільшого) значення. Учням повідомляється, що на даному уроцівивчається ще одна властивість функції – періодичність.

Представлено визначення періодичної функції y=f(x), де xx, у якій виконується умова f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) для деякого Т≠0. Інакше число Т називають період функції.

Для функцій синуса і косинуса, що розглядаються, виконання умови перевіряється, застосовуючи формули приведення. Очевидно, що вид тотожності sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) відповідає виду виразу визначального умова періодичності функції. Така ж рівність можна відзначити для косинуса cos (x-2π) = cos x = cos (x +2π). Отже, ці тригонометричні функції є періодичними.

Далі наголошується, як властивість періодичності допомагає будувати графіки періодичних функцій. Розглядається функція у = sin x. На екрані будується координатна площина, де відзначені абсциси від -6π до 8π з кроком π. На поверхні будується частина графіка синуса, представлений однією хвилею на відрізку . На малюнку демонструється, як графік функції формується по всій області визначення зсувом побудованого фрагмента, і отримуючи довгу синусоїду.

Будується графік функції у = cos х, використовуючи властивість її періодичності. Для цього на малюнку будується координатна площина, де зображується фрагмент графіка. Зазначається, зазвичай такий фрагмент будується на відрізку [-π/2;3π/2]. Аналогічно графіку функції синуса, побудова графіка косинуса виконується зсувом фрагмента. В результаті побудови утворюється довга синусоїда.

Побудова графіка періодичної функції має особливості, які можна використовувати. Тому вони даються у узагальненому вигляді. Наголошується, що для побудови графіка такої функції спочатку будують гілка графіка на деякому проміжку довжиною Т. потім необхідно зрушити побудовану гілка вправо та вліво на Т, 2Т, 3Т і т.д. при цьому вказується ще на одну особливість періоду – для будь-якого цілого k≠0 число kТ також є періодом функції. Проте Т називається основним періодом, оскільки він найменших із усіх. Для тригонометричних функційсинуса та косинуса основним періодом є 2π. Однак є також періодами 4π, 6π і т.д.

Далі пропонується розглянути знаходження основного періоду функції у = cos 5х. Рішення починається з припущенням, що Т – період функції. Отже, необхідне виконання умови f(x-Т)=f(x)=f(x+Т). У цьому тотожності f(x)= cos 5х, а f(x+Т)=cos 5(x+Т)= cos (5x+5Т). У цьому cos (5x+5Т)= cos 5х, отже 5Т=2πn. Тепер можна знайти Т = 2 / 5. Завдання вирішено.

У другому завданні необхідно знайти основний період функції y=sin(2x/7). Передбачається, що основний період функції Т. для цієї функції f(x)= sin(2x/7), а через період f(x+Т)=sin(2x/7)(х+Т)= sin(2x/7) + (2/7) Т). після приведення отримуємо (2/7)Т=2πn. Проте необхідно знайти основний період, тому беремо найменше значення (2/7)Т=2π, з якого знаходимо Т=7π. Завдання вирішено.

Наприкінці демонстрації результати прикладів узагальнюються, сформувавши правило визначення основного періоду функції. Зазначається, що з функцій у=sinkxи y=coskx основними періодами є 2π/k.

Відеоурок «Періодичність функцій у = sin х, у = cos х» може застосовуватися на традиційному уроці математики підвищення ефективності уроку. Також цей матеріал рекомендується використовувати вчителю, який здійснює дистанційне навчанняпідвищення наочності пояснення. Відео може бути рекомендоване учню, що відстає, для поглиблення розуміння теми.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

"Періодичність функцій у = cos x, y = sin x".

Для побудови графіків функцій y = sin x та у = cos x були використані властивості функцій:

1 область визначення,

2 область значення,

3 парність або непарність,

4 монотонність,

5 обмеженість,

6 безперервність,

7 найбільше та найменше значення.

Сьогодні ми вивчимо ще одну властивість: періодичність функції.

ВИЗНАЧЕННЯ. Функцію у = f (x), де х ϵ Х(гравець дорівнює еф від ікс, де ікс належить множині ікс), називають періодичною, якщо існує відмінне від нуля число Т таке, що для будь-якого х із множини Х виконується подвійна рівність: f (x - Т) = f (x) = f (x + Т) (еф від ікс мінус те дорівнює еф від ікс і дорівнює еф від ікс плюс е). Число Т, яке задовольняє таку подвійну рівність, називають періодом функції

А так як синус і косинус визначені на всій числовій прямій і для будь-якого х виконуються рівності sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (синус від ікс мінус два пі дорівнює синусу ікс і дорівнює синусу від ікс плюс два пі ) та

cos (x - 2π) = cos x = cos (x + 2π) (косинус від ікс мінус два пі дорівнює косинус ікс і дорівнює косінус від ікс плюс два пі), то синус і косинус - це періодичні функції з періодом 2π.

Періодичність дозволяє швидко збудувати графік функції. Адже для того, щоб побудувати графік функції y = sin x досить побудувати одну хвилю (найчастіше на відрізку (від нуля до двох пі), а потім за допомогою зсуву побудованої частини графіка вздовж осі абсцис вправо і вліво на 2π, потім на 4π і так далі отримати синусоїду.

(показати зсув праворуч і ліворуч на 2π, 4π)

Аналогічно для графіка функції

у = cos x, тільки будуємо одну хвилю найчастіше на відрізку [; ] (від мінус пі на два до трьох пі на два).

Узагальнемо вище сказане і зробимо висновок: для побудови графіка періодичної функції з періодом Т спочатку потрібно побудувати гілка (або хвилю, або частину) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше це проміжок з кінцями в точках 0 і Т або - і (мінус е на два і те на два), а потім зрушити цю гілку вздовж осі х (ікс) вправо і вліво на Т, 2Т, 3Т і т.д.

Очевидно, що якщо функція періодична з періодом Т, то при будь-якому цілому k0(не рівному нулю) число виду kT(ка те) теж період цієї функції. Зазвичай намагаються виділити найменший позитивний період, який називають основним періодом.

Як період функцій у = cos x, y = sin x можна було б взяти - 4π, 4π, - 6π, 6π і т.д. (мінус чотири пі, чотири пі, мінус шість пі, шість пі і так далі). Але число 2 є основним періодом і тієї, і іншої функції.

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД 1.Знайти основний період функції у = сos5x (гравець дорівнює косинус п'яти ікс).

Рішення. Нехай Т – основний період функції у = сos5x. Покладемо

f (x) = сos5x, тоді f (x + Т) = сos5(x + Т) = сos (5x + 5Т) (еф від ікс плюс те дорівнює косінусу п'яти, помноженого на суму ікса і те дорівнює косінусу від суми п'яти ікс та п'яти те).

сos (5x + 5Т) = сos5x. Звідси 5Т= 2πn (п'ять те дорівнює два пі ен), але за умовою потрібно знайти основний період, отже, 5Т= 2π. Отримуємо Т=

(Період даної функції дорівнює два пі, поділений на п'ять).

Відповідь: Т =.

ПРИКЛАД 2. Знайти основний період функції у = sin (гравець дорівнює синус приватного двох ікс на сім).

Рішення. Нехай Т - основний період функції у = sin. Покладемо

f (x) = sin , тоді f (x + Т) = sin (x + Т) = sin (x + Т) (еф від ікс плюс те дорівнює синусу добутку двох сьомих і суми іксу і те дорівнює синусу від суми двох сьомих ікс та двох сьомих те).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність

sin (x + Т) = sin. Звідси Т= 2πn (дві сьомі те дорівнює два пі ен), але за умовою потрібно знайти основний період, отже, Т= 2π. Отримуємо Т=7

(Період даної функції дорівнює семи пі).

Відповідь: Т = 7.

Узагальнюючи результати, отримані в прикладах, можна зробити висновок: основний період функцій y = sin kx або у = cos kx (ігрок дорівнює синус ка ікс або гравець дорівнює косинус ка ікс) дорівнює (два пі, поділено на ка).