Як знайти периметр трикутника, якщо відомі не всі сторони. Як знайти периметр трикутника? Відповідаємо на запитання У чому вимірюється периметр трикутника
Будь-якого трикутника дорівнює сумі довжин трьох сторін. Загальна формула для знаходження периметра трикутників:
P = a + b + c
де P- це периметр трикутника, a, bі c- Його сторони.
Можна знайти склавши послідовно довжини його сторін або помноживши довжину бокової сторони на 2 і додавши до твору довжину основи. Загальна формула для знаходження периметра рівнобедрених трикутників виглядатиме так:
P = 2a + b
де P- це периметр рівнобедреного трикутника, a- будь-яка з бічних сторін, b- заснування.
Можна знайти склавши послідовно довжини його сторін або помноживши довжину будь-якої сторони на 3. Загальна формула для знаходження периметра рівносторонніх трикутників буде виглядати так:
P = 3a
де P- це периметр рівностороннього трикутника, a- Будь-яка з його сторін.
Площа
Для вимірювання площі трикутника можна порівняти його з паралелограмом. Розглянемо трикутник ABC:
Якщо взяти рівний йому трикутник і приставити його так, щоб вийшов паралелограм, то вийде паралелограм з тією самою висотою та основою, що й у даного трикутника:
У разі загальна сторона складених разом трикутників є діагоналлю утвореного паралелограмма. З властивості паралелограмів відомо, що діагональ завжди ділить паралелограм на два рівні трикутники, отже площа кожного трикутника дорівнює половині площі паралелограма.
Так як площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту, то площа трикутника дорівнюватиме половині цього твору. Значить для Δ ABCплоща буде рівна
Тепер розглянемо прямокутний трикутник:
Два рівні прямокутні трикутники можна скласти в прямокутник, якщо притулити їх один до одного гіпотенузою. Оскільки площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін, то площа цього трикутника дорівнює:
З цього можна зробити висновок, що площа будь-якого прямокутного трикутникадорівнює добутку катетів, поділеному на 2.
З даних прикладів можна дійти невтішного висновку, що площа будь-якого трикутника дорівнює добутку довжин основи та висоти, опущеної на основу, поділеному на 2. Загальна формула для знаходження площі трикутників виглядатиме так:
| S = | ah a |
| 2 |
де S- Це площа трикутника, a- Його основа, h a- висота, опущена на основу a.
Периметр - це величина, що має на увазі довжину всіх сторін плоскої (двовимірної) геометричної фігури. Для різних геометричних фігур є різні способи знаходження периметра.
У цій статті ви дізнаєтесь як знаходити периметр фігури різними способами, Залежно від відомих його граней.
Вконтакте
Можливі методи:
- відомі всі три сторони рівнобедреного або будь-якого іншого трикутника;
- як знайти периметр прямокутного трикутника за двох відомих його гранях;
- відомі дві грані та кут, який розташований між ними (формула косінусів) без середньої лінії та висоти.
Перший метод: відомі усі сторони фігури
Як знаходити периметра трикутника, коли відомі всі три гранінеобхідно використовувати наступну формулу: P = a + b + c, де a, b, c – відомі довжини всіх сторін трикутника, P – периметр фігури.
Наприклад, відомі три сторони фігури: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Це правильна рівнобедрена фігура, щоб обчислити периметр користуємося формулою: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.
Ця формула підходить до будь-якого трикутника.необхідно просто знати довжини всіх його сторін. Якщо хоча б одна з них невідома, необхідно скористатися іншими способами, про які ми поговоримо нижче.
Ще один приклад: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Обчислюємо периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.
Дуже важливо помічати одиницю виміру в отриманій відповіді. У прикладах довжини сторін зазначені в сантиметрах (см), проте, існують різні завдання, за умов яких є інші одиниці виміру.
Другий метод: прямокутний трикутник та дві відомі його сторони
У тому випадку, коли в завданні, яке потрібно вирішити, дано прямокутну фігуру, довжини двох граней якої відомі, а третя ні, необхідно скористатися теоремою Піфагора.
Визначає співвідношення між гранями прямокутного трикутника. Формула, що описується цією теоремою, є однією з найвідоміших і найчастіше застосовуваних теорем у геометрії. Отже, сама теорема:
Сторони будь-якого прямокутного трикутника описуються таким рівнянням: a^2 + b^2 = c^2 де а і b — катети фігури, а c — гіпотенуза.
- Гіпотенуза. Вона завжди розташована протилежно прямому куту(90 градусів), а також є найдовшою гранню трикутника. У математиці прийнято позначати гіпотенузу літерою с.
- Катети— це грані прямокутного трикутника, які відносяться до прямого кута та позначаються літерами а та b. Один із катетів одночасно є і висотою фігури.
Таким чином, якщо умовами завдання задані довжини двох із трьох граней такої геометричної фігури, за допомогою теореми Піфагора необхідно знайти розмірність третьої грані, після чого скористатися формулою першого методу.
Наприклад, ми знаємо довжину 2-х катетів: a = 3 см, b = 5 см. Підставляємо значення теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 см. Отже, гіпотенуза такого трикутника дорівнює 5 см. До речі, даний прикладє найпоширенішим і називається. Іншими словами, якщо два катети фігури дорівнюють 3 см і 4 см, то гіпотенуза складе 5 см відповідно.
Якщо невідома довжина одного з катетів, необхідно перетворити формулу так: c^2 — a^2 = b^2. І навпаки, для іншого катета.
Продовжимо приклад. Тепер слід звернутися до стандартної формули пошуку периметра фігури: P = a + b + c. У разі: P = 3 + 4 + 5 = 12 див.
Третій метод: по двох гранях і кутку між ними
У старшій школі, а також університеті найчастіше доводиться звертатися саме до цього способу знаходження периметра. Якщо умовами завдання задані довжини двох сторін, а також розмірність кута між ними, то необхідно скористатися теоремою косінусів.
Ця теорема застосовна абсолютно до будь-якого трикутника, що робить її однією з найбільш корисних в геометрії. Сама теорема виглядає так: c^2 = a^2 + b^2 — (2 * a * b * cos(C)), де a,b,c — стандартно довжини граней, а A,B і С — це кути, які лежать навпроти відповідних граней трикутника. Тобто A — кут, що протилежить стороні a і так далі.
Припустимо, що описаний трикутник, сторони а і б якого складають 100 см і 120 см відповідно, а кут, що лежить між ними, становить 97 градусів. Тобто а=100 см, б=120 см, C=97 градусів.
Все, що потрібно зробити в даному випадку, - це підставити всі відомі значення в теорему косінусів. Довжини відомих граней зводяться в квадрат, після чого відомі сторони перемножуються між один одним і два і множаться на косинус кута між ними. Далі, необхідно скласти квадрати граней і відібрати від них друге отримане значення. З підсумкової величини витягується квадратний корінь— це буде третя, невідома раніше сторона.
Після того як всі три грані фігури відомі, залишилося скористатися стандартною формулою пошуку периметра описуваної фігури з першого методу.
P=a+b+c Як знайти периметр трикутника: Всім відомо, що периметр знайти простіше простого – треба лише скласти всі три сторони трикутника. Проте є кілька інших способів, з допомогою яких можна знайти суму довжин сторін трикутника. 1 крок При відомих радіусі вписаного в трикутник кола та його площі знайти периметр за формулою P=2S/r. 
2 крок Якщо ти знаєш два кути, наприклад, α і β, що належать до сторони, та довжину цієї сторони, то для знаходження периметра використовуй формулу а+sinα∙а/(sin(180°-α-β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). 
3 крок Якщо в умові вказані суміжні сторони та кут β між ними, при знаходженні периметра врахуй теорему косінусів. Тоді P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), де a^2 та b^2 – квадрати довжин суміжних сторін. Вираз під коренем – довжина третьої невідомої сторони, виражена через теорему косінусів. 
4крок Для рівнобедреного трикутника формула периметра набуває вигляду P=2a+b, де а – бічні сторони, а b – його основа. 5 крок Периметр правильного трикутника розрахуй за формулою P=3a. 6 крок Знайди периметр за допомогою радіусів, вписаних у трикутник або описаних навколо нього кіл. Так, для рівностороннього трикутника пам'ятай і використовуй формулу P=6r√3=3R√3, де r – радіус вписаного кола, а R – радіус описаного кола. 7 крок Для рівнобедреного трикутника застосуй формулу P=2R(2sinα+sinβ), в якій α – кут при основі, а β – кут, що протилежить основі.
Попередні відомості
Периметр будь-якої плоскої геометричної фігур на площині визначається як сума довжин усіх сторін. Винятком із цього не є і трикутник. Спочатку наведемо поняття трикутника, і навіть види трикутників залежно від сторін.
Визначення 1
Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).
Визначення 2
Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.
Визначення 3
Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.
Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.
Залежно від відношення сторін один до одного, трикутники поділяються на різнобічні, рівнобіжні та рівносторонні.
Визначення 4
Трикутник називатимемо різнобічним, якщо жодна з його сторін не дорівнює жодній іншій.
Визначення 5
Трикутник називатимемо рівнобедреним, якщо дві його сторони рівні один одному, але не дорівнюють третій стороні.
Визначення 6
Трикутник називатимемо рівностороннім, якщо всі його сторони дорівнюють одна одній.
Усі види цих трикутників Ви можете побачити малюнку 2.
Як знайти периметр різностороннього трикутника?
Нехай нам дано різнобічний трикутник, у якого довжини сторін дорівнюватимуть $α$, $β$ і $γ$.
Висновок:Для знаходження периметра різнобічного трикутника треба всі довжини його сторін скласти між собою.
Приклад 1
Знайти периметр різнобічного трикутника дорівнюють $34$ см, $12$ см і $11$ см.
$ P = 34 +12 +11 = 57 $ см
Відповідь: $57$ див.
Приклад 2
Знайти периметр прямокутного трикутника, у якого катети дорівнюють $6$ і $8$ див.
Спочатку знайдемо довжину гіпотенуз цього трикутника за теоремою Піфагора. Позначимо її через $α$, тоді
$α=10$ За правилом обчислення периметра різнобічного трикутника, отримаємо
$ P = 10 +8 +6 = 24 $ см
Відповідь: $24$ див.
Як знайти периметр рівнобедреного трикутника?
Нехай нам дано рівнобедрений трикутник, у якого довжини бічних сторін дорівнюватимуть $α$, а довжина основи дорівнює $β$.
За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що
$P=α+α+β=2α+β$
Висновок:Для знаходження периметра рівнобедреного трикутника треба подвоєну довжину його сторін скласти з довжиною його основи.
Приклад 3
Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його бічні сторони дорівнюють $12$ см, а основа $11$ см.
За розглянутим вище прикладом, бачимо, що
$P=2\cdot 12+11=35$ см
Відповідь: $35$ див.
Приклад 4
Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його висота, проведена на основу, дорівнює $8$ см, а основа $12$ см.
Розглянемо малюнок за умовою задачі:
Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BD$ також і медіаною, отже, $AD=6$ див.
За теоремою Піфагора, з трикутника $ADB$ знайдемо бічну сторону. Позначимо її через $α$, тоді
За правилом обчислення периметра рівнобедреного трикутника, отримаємо
$P=2\cdot 10+12=32$ см
Відповідь: $32$ див.
Як знайти периметр рівностороннього трикутника?
Нехай нам дано рівносторонній трикутник, у якого довжини всіх сторін дорівнюватимуть $α$.
За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що
$P=α+α+α=3α$
Висновок:Для знаходження периметра рівностороннього трикутника треба довжину сторони трикутника помножити на $3$.
Приклад 5
Знайти периметр рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює $12$ див.
За розглянутим вище прикладом, бачимо, що
$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ см