Как найти интеграл от числа. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

>> >> >> Методы интегрирования

Основные методы интегрирования

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv"dx к интегрированию выражения vdu=vu"dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования , понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 < x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Методы интегрирования имеют следующие свойства:

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39 . Вычислить J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

Данный калькулятор позволяет решить определенный интеграл онлайн. По сути, вычисление определенного интеграла - это нахождение числа, которое равно площади под графиком функции. Для решения необходимо задать границы интегрирования и интегрируемую функцию. После интегрирования система найдет первообразную для заданной функции, вычислит её значения в точках границах интегрирования, найдет их разность, что и будет являться решением определенного интеграла. Чтобы решить неопределенный интеграл вам необходимо воспользоваться похожим онлайн калькулятором, который находится на нашем сайте по ссылке - Решить неопределенный интеграл .

Мы позволяем вычислить определенный интеграл онлайн быстро и надежно. Вы получите всегда верное решение. Причем для табличных интегралов ответ будет представляться в классическом виде, то есть выражаться через известные константы, такие как число "пи", "экспонента" и т.д. Все вычисления полностью бесплатны и не требуют регистрации. Решая определенный интеграл у нас, вы избавите себя от трудоемких и сложных вычислений, либо решив интеграл самостоятельно - вы сможете проверить полученное вами решение.

В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол) , метод трапеций или метод прямоугольников . Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.

В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Навигация по странице.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива : .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления .

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке . Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a) , используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b) : , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Разберем на примере для ясности.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла .

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.

Обозначим . При x=9 имеем , а при x=18 имеем , то есть, . Подставляем полученные результаты в формулу :

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции является функция , поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Можно было обойтись и без формулы .

Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл , то мы придем к результату .

Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:

Как видите, результаты совпадают.

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Функция

является интегрируемой на отрезке в силу своей непрерывности.

Пусть u(x) = x , а , тогда , а . По формуле получаем

Этот пример можно решить и по-другому.

Находим множество первообразных функции интегрированием по частям и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение определенного интеграла онлайн . Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://сайт вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто - ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.